Całka oznaczona Riemanna - definicja
Niech funkcja \(\displaystyle{ f}\) będzie określona i ograniczona na przedziale \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\), tzn. \(\displaystyle{ f:\langle a,b\rangle\rightarrow\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ f}\)-ograniczona na \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\). Dzielimy przedział \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) na przedziały częściowe \(\displaystyle{ \langle x_{i-1},x_{i}\rangle, i=1,2,\ldots,n}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \lambda}\) największą z różnic \(\displaystyle{ \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}}\), czyli\(\displaystyle{ \lambda=\mbox{max}\Delta x_{i},\,i=0,1,\ldots,n-1.}\)
W każdym z przedziałów częściowych \(\displaystyle{ \langle x_{i},x_{i+1}\rangle}\) obieramy dowolnie punkt \(\displaystyle{ \xi, \xi\in\langle x_{i},x_{i+1}\rangle}\).
Tworzymy sumę całkową
(1) \(\displaystyle{ \quad \sigma=\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_{i})\Delta x_{i}.}\)
Utożsamiamy podział przedziału \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) na przedziały częściowe punktami
\(\displaystyle{ a=x_{0},x_1,...,x_n=b}\)
z układem punktów działowych
\(\displaystyle{ \Pi=\lbrace x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\rbrace.}\)
Wtedy można rozważać ciąg podziałów\(\displaystyle{ \left(\Pi_{m}\right)}\) przedziału \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\), przy czym
\(\displaystyle{ \Pi_{m}=\lbrace x_{0}^{m},x_{1}^{m},\ldots,x_{n_{m}}^{m}\rbrace,}\)
\(\displaystyle{ n_{m}}\) - skończona liczba naturalna.
Mówimy, że ciąg podziałów \(\displaystyle{ \left(\Pi_{m}\right)}\) przedziału \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) na przedziały częściowe jest ciągiem normalnym, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic \(\displaystyle{ \left(\lambda_{m}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda_{m}=\mbox{max}\Delta x_{i}^m}\), jest zbieżny do zera.
Definicja
Jeżeli przy dowolnym ciągu normalnym podziałów przedziału \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) na przedziały częściowe oraz przy dowolnym wyborze punktów pośrednich \(\displaystyle{ \xi_{i}}\) ciąg sum całkowych postaci (1) dąży zawsze do skończonej granicy równej \(\displaystyle{ I}\), to granicę tą nazywamy całką oznaczoną funkcji \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) i oznaczamy symbolem
\(\displaystyle{ I=\int_{a}^{b}f(x)\mbox{d}x.}\)
W przypadku, gdy granica ta istnieje, to mówimy, że \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\). Liczby: \(\displaystyle{ a, b}\) nazywamy odpowiednio: dolną oraz górną granicą całki.
Powyższa definicja pochodzi od Bernharda Riemanna, stąd: całka oznaczona Riemanna, całkowalność w sensie Riemanna.
Własności całki oznaczonej:
- Jeżeli funkcje \(\displaystyle{ f, g}\) są całkowalne na przedziale \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\), to kombinacja liniowa \(\displaystyle{ \alpha f+\beta g}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) - stałe, jest całkowalna na \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) oraz
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\mbox{d}x=\alpha\int_{a}^{b}f(x)\mbox{d}x+\beta\int_{a}^{b}g(x)\mbox{d}x.}\) - Addytywność. Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) oraz \(\displaystyle{ c\in(a,b)}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na każdym z przedziałów: \(\displaystyle{ \langle a,c\rangle, \langle c,b\rangle}\) oraz
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)\mbox{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\mbox{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\mbox{d}x.}\) - \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)\mbox{d}x=-\int_{b}^{a}f(x)\mbox{d}x ;\quad\int_{a}^{a}f(x)\mbox{d}x\stackrel{d\,\!e\,\!f.}{=}0}\), przy założeniu całkowalności \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle.}\)
- Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\), a oraz \(\displaystyle{ f(x)\geqslant 0}\) dla \(\displaystyle{ x\in\langle a,b\rangle}\) (\(\displaystyle{ f(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x\in\langle a,b\rangle}\)), to
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)\mbox{d}x\geqslant 0\ \ \ \ }\) (\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)\mbox{d}x>0}\)). - Jeżeli funkcje \(\displaystyle{ f, g}\) są całkowalne na \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) oraz
\(\displaystyle{ \bigwedge_{x\in\langle a,b\rangle}f(x)\leqslant g(x)\ \ \ \ }\) (\(\displaystyle{ \bigwedge_{x\in\langle a,b\rangle}f(x)< g(x)}\)),
to
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)\mbox{d}x\leqslant\int_{a}^{b}g(x)\mbox{d}x\ \ \ \ }\) (\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)\mbox{d}x<\int_{a}^{b}g(x)\mbox{d}x}\)) - Niech funkcja \(\displaystyle{ f}\) będzie całkowalna na \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\). Wtedy funkcja \(\displaystyle{ |f|}\) jest całkowalna na \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) oraz zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left|\int_{a}^{b}f(x)\mbox{d}x\right|\leqslant\int_{a}^{b}|f(x)|\mbox{d}x.}\) - Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\), oraz dla każdego \(\displaystyle{ x\in\langle a,b\rangle}\) mamy \(\displaystyle{ m\leqslant f(x)\leqslant M}\), gdzie \(\displaystyle{ m, M}\) - stałe, to
\(\displaystyle{ m(b-a)\leqslant\int_{a}^{b}f(x)\mbox{d}x\leqslant M(b-a).}\)