Bardzo prosze o rozwiązanie tych zadań
1. Znaleźć całkę ogólną równania:
\(\displaystyle{ y''+2y'+2y=5\sin2x}\)
2. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różnicowego:
\(\displaystyle{ y_{n+2}+y_{n}=\cos\frac{n\pi}{2}}\)
3. Obliczyć:
\(\displaystyle{ \iiint\limits_{V}\frac{xydxdydz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\) gdzie
\(\displaystyle{ V=\lbrace(x,y,z)\in\RR^3 :\quad 1\leqslant x^2+y^2+z^2\leqslant 2\quad\wedge\quad{x}\geqslant{0}\quad\wedge\quad{y}\geqslant{0}\rbrace}\)
3 zadania
-
Kasiula@
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Podlasie
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 27 razy
3 zadania
ad.2.
Dane równanie można zapisac:
\(\displaystyle{ (E^{2}+1)y_{n}= \cos \frac{n \pi}{2}}\),gdzie \(\displaystyle{ E(y_{n})=y_{n+1}}\)
Rozwiąż równanie jednorodne, czyli wyznaczasz z równania charakterystycznego pierwiastki.
Otrzymujesz wówczas rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y_{n}=C_{1}\sin \frac{n \pi}{2}+ C_{2}\cos \frac{n \pi}{2}}\)
Nastepnie wyznaczasz anihilator N(E) funkcji odpowiadającej za niejednorodność \(\displaystyle{ g_{n}= \cos \frac{n \pi}{2}}\),czyli:
\(\displaystyle{ N(E)( \cos \frac{n \pi}{2})=0}\) stąd otrzymujem,że \(\displaystyle{ N(E)=E^{2}+1}\)
Dalej wyznaczamy rozwiązanie szczególne:
\(\displaystyle{ N(E)y(n)=0}\) stąd z rownania charakterystycznego otrzymujemy te same pierwiastki co w równaniu jednorodnym wyjściowego równania. Dlatego tez musimy rozwiązać następujące równanie:
\(\displaystyle{ N(E)(y_{n+2}+y_{n})=N(E)(E^{2}+1)y_{n}=0}\). Pierwiastki równania charakterystycznego są dwukrotne i równają się: i, -i. Tworza one następujący układ fundamentalny:
\(\displaystyle{ FUR=\{\sin \frac{n \pi}{2}, n \sin \frac{n \pi}{2}, \cos \frac{n \pi}{2}, n \cos \frac{n \pi}{2} \}}\). Odrzucamy z niego te elementy,który wystąpiły w rozwiązaniu równania jednorodnego,czyli nasz FUR będzie miał postac:
\(\displaystyle{ FUR=\{n\sin \frac{n \pi}{2}, n \cos \frac{n \pi}{2} \}}\)
Stąd rozwiązanie szczególne ma postac:
\(\displaystyle{ y_{n}=C_{3}n \sin \frac{n \pi}{2} + C_{4} n \cos \frac{n \pi}{2}}\)
Podstawiając do wyjściowego równania otrzymujemy,że \(\displaystyle{ C_{3}=0, C_{4}=-\frac{1}{2}}\)
Czyli rozwiązanie szczególne ma postac \(\displaystyle{ y_{n}=-\frac{1}{2}n \cos \frac{n \pi}{2}}\)
Ostatecznie rozwiązanie danego równania ma postac:
\(\displaystyle{ y_{n}= C_{1}\sin \frac{n \pi}{2}+ C_{2}\cos \frac{n \pi}{2} - \frac{1}{2}n \cos \frac{n \pi}{2}}\)
Pozdrawiam
Dane równanie można zapisac:
\(\displaystyle{ (E^{2}+1)y_{n}= \cos \frac{n \pi}{2}}\),gdzie \(\displaystyle{ E(y_{n})=y_{n+1}}\)
Rozwiąż równanie jednorodne, czyli wyznaczasz z równania charakterystycznego pierwiastki.
Otrzymujesz wówczas rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y_{n}=C_{1}\sin \frac{n \pi}{2}+ C_{2}\cos \frac{n \pi}{2}}\)
Nastepnie wyznaczasz anihilator N(E) funkcji odpowiadającej za niejednorodność \(\displaystyle{ g_{n}= \cos \frac{n \pi}{2}}\),czyli:
\(\displaystyle{ N(E)( \cos \frac{n \pi}{2})=0}\) stąd otrzymujem,że \(\displaystyle{ N(E)=E^{2}+1}\)
Dalej wyznaczamy rozwiązanie szczególne:
\(\displaystyle{ N(E)y(n)=0}\) stąd z rownania charakterystycznego otrzymujemy te same pierwiastki co w równaniu jednorodnym wyjściowego równania. Dlatego tez musimy rozwiązać następujące równanie:
\(\displaystyle{ N(E)(y_{n+2}+y_{n})=N(E)(E^{2}+1)y_{n}=0}\). Pierwiastki równania charakterystycznego są dwukrotne i równają się: i, -i. Tworza one następujący układ fundamentalny:
\(\displaystyle{ FUR=\{\sin \frac{n \pi}{2}, n \sin \frac{n \pi}{2}, \cos \frac{n \pi}{2}, n \cos \frac{n \pi}{2} \}}\). Odrzucamy z niego te elementy,który wystąpiły w rozwiązaniu równania jednorodnego,czyli nasz FUR będzie miał postac:
\(\displaystyle{ FUR=\{n\sin \frac{n \pi}{2}, n \cos \frac{n \pi}{2} \}}\)
Stąd rozwiązanie szczególne ma postac:
\(\displaystyle{ y_{n}=C_{3}n \sin \frac{n \pi}{2} + C_{4} n \cos \frac{n \pi}{2}}\)
Podstawiając do wyjściowego równania otrzymujemy,że \(\displaystyle{ C_{3}=0, C_{4}=-\frac{1}{2}}\)
Czyli rozwiązanie szczególne ma postac \(\displaystyle{ y_{n}=-\frac{1}{2}n \cos \frac{n \pi}{2}}\)
Ostatecznie rozwiązanie danego równania ma postac:
\(\displaystyle{ y_{n}= C_{1}\sin \frac{n \pi}{2}+ C_{2}\cos \frac{n \pi}{2} - \frac{1}{2}n \cos \frac{n \pi}{2}}\)
Pozdrawiam