Matematyka.pl

Dzień dobry,
Czy średnia arytmetyczna niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie jest od nich niezależna?

Ma taki sam rozkład i jest niezależna.

Ma taki sam rozkład? Zawsze?
Weźmy np. \(\displaystyle{ X_1, ..., X_n}\) - niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie Gamma o parametrach \(\displaystyle{ k, \lambda.}\) Czyli \(\displaystyle{ X_i \sim Gamma(k,\lambda).}\)
Z własności rozkładu Gamma wynika, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} X_i \sim Gamma(n \cdot k,\lambda)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim Gamma(n \cdot k,n \cdot \lambda)}\)
z czego wynikałoby, że średnia arytmetyczna niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie nie ma takiego samego rozkładu, co te zmienne.
Czy gdzieś popełniam błąd?

Wiktoria Wozniak pisze: ↑1 lut 2024, o 09:16
Czy gdzieś popełniam błąd?

Tak. Ufając odpowiedzi Janusza47..

Wydaje się zupełnie nielogiczne, żeby średnia arytmetyczna pewnych wartości była od nich niezależna, a proste przykłądy to potwierdzają.
Np `\Omega=[0,1]^2`, `X(x,y)=x, Y(x,y)=y` są niezależne. Policz `P(X\le 1/2 \wedge X+Y\le 1)` i `P(X\le 1/2)P(X+Y\le 1)`

a4karo pisze: ↑1 lut 2024, o 14:14 Wydaje się zupełnie nielogiczne, żeby średnia arytmetyczna pewnych wartości była od nich niezależna, a proste przykłądy to potwierdzają.
Np `\Omega=[0,1]^2`, `X(x,y)=x, Y(x,y)=y` są niezależne. Policz `P(X\le 1/2 \wedge X+Y\le 1)` i `P(X\le 1/2)P(X+Y\le 1)`

Zgadzam się, zadając to pytanie liczyłam na negatywną odpowiedź. Intuicyjnie tak mi się wydawało, chciałam jednak potwierdzenia.
Wracając do przykładu niezależnych zmiennych losowych z rozkładu \(\displaystyle{ Gamma(k,\lambda),}\) ustalmy pewne \(\displaystyle{ s.}\)
Jak policzyć \(\displaystyle{ E\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i \cdot X_s \right] }\)?

Edit: Ogólnie wiem jak liczyć wartość oczekiwaną, moim problemem jest brak znajomości rozkładu łącznego dla \(\displaystyle{ (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i , X_s )}\)

Chyba Ci nie pomogę. Na tym się nie znam.