Indeks zgodności
: 22 mar 2024, o 23:52
Indeks zgodności dla szyfrogramu \(\displaystyle{ c}\) długości \(\displaystyle{ n}\), w którym litera \(\displaystyle{ A}\) występuje \(\displaystyle{ f_A}\) razy, \(\displaystyle{ Ą}\) występuje \(\displaystyle{ f_Ą}\) razy itd., jest dany wzorem
\(\displaystyle{ \frac{f_A(f_A−1)+f_Ą(f_Ą−1)+...+f_Ż(f_Ż−1)}{n(n−1)}}\)
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną. Wyznacz największą i najmniejszą możliwą wartość indeksu zgodności dla ciągu znaków długości \(\displaystyle{ n}\). Podaj przykład ciągu długości \(\displaystyle{ n}\), dla którego wartość indeksu zgodności jest najmniejsza/największa.
Łatwo zauważyć, że maksymalna wartość indeksu zgodności wynosi \(\displaystyle{ 1}\) - dla ciągu, w którym wszystkie litery są takie same (mamy wówczas \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{n(n-1)} = 1}\)).
Analizując minimalną wartość, można zauważyć, że jeśli długość ciągu \(\displaystyle{ n\le35}\) (gdzie \(\displaystyle{ 35}\) to liczba liter w polskim alfabecie), to minimalna wartość indeksu zgodności wynosi \(\displaystyle{ 0}\) - dla ciągu, w którym każda litera występuje co najwyżej \(\displaystyle{ 1}\) raz.
Co jednak w przypadku, gdy \(\displaystyle{ n > 35}\)? Nie jest wówczas możliwe, aby każdy litera występowała maksymalnie raz. Jak można wyznaczyć minimalną wartość indeksu zgodności w takim przypadku?
\(\displaystyle{ \frac{f_A(f_A−1)+f_Ą(f_Ą−1)+...+f_Ż(f_Ż−1)}{n(n−1)}}\)
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną. Wyznacz największą i najmniejszą możliwą wartość indeksu zgodności dla ciągu znaków długości \(\displaystyle{ n}\). Podaj przykład ciągu długości \(\displaystyle{ n}\), dla którego wartość indeksu zgodności jest najmniejsza/największa.
Łatwo zauważyć, że maksymalna wartość indeksu zgodności wynosi \(\displaystyle{ 1}\) - dla ciągu, w którym wszystkie litery są takie same (mamy wówczas \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{n(n-1)} = 1}\)).
Analizując minimalną wartość, można zauważyć, że jeśli długość ciągu \(\displaystyle{ n\le35}\) (gdzie \(\displaystyle{ 35}\) to liczba liter w polskim alfabecie), to minimalna wartość indeksu zgodności wynosi \(\displaystyle{ 0}\) - dla ciągu, w którym każda litera występuje co najwyżej \(\displaystyle{ 1}\) raz.
Co jednak w przypadku, gdy \(\displaystyle{ n > 35}\)? Nie jest wówczas możliwe, aby każdy litera występowała maksymalnie raz. Jak można wyznaczyć minimalną wartość indeksu zgodności w takim przypadku?