Matematyka.pl

Wyznaczyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) z równania \(\displaystyle{ (a+1)^{a-1}+ (a-1)^{a+1} = b^b .}\)

Dla kilku najmniejszych naturalnych \(\displaystyle{ a}\) (tj: 0,1,2,3,4,5,6) istnieją rozwiązania:
\(\displaystyle{ (1-1)^{1+1}+(1+1)^{1-1}=1^1 \\
(2-1)^{2+1}+(2+1)^{2-1}=2^2 }\)

Sprawdzam co z większymi \(\displaystyle{ a}\):
1.
Gdy \(\displaystyle{ b=a+1}\) to :
\(\displaystyle{ (a+1)^{a-1}+ (a-1)^{a+1} = (a+1)^{a+1} \\
(a-1)^{a+1} = (a+1)^{a-1}a(a+2)}\)
Prawa strona jest podzielna przez 3, wiec przyjmuję że \(\displaystyle{ a=3p+1}\)
\(\displaystyle{ (3p)^{3p+2}=(3p+2)^{3p}(3p+1)(3p+3)\\
(3p)^{3p}(3p)(3p)=(3p+2)^{3p}(3p+1)(3p+3)}\)
Każdy z trzech kolejnych czynników lewej strony jest mniejszy od trzech kolejnych czynników strony prawej więc to równanie nie ma rozwiązania. Przy okazji widać, iż \(\displaystyle{ b}\) musi być mniejsze od \(\displaystyle{ a+1}\)
2.
Gdy \(\displaystyle{ b=a}\) to :
\(\displaystyle{ (a+1)^{a-1}+ (a-1)^{a+1} = (a)^{a} }\)
To równanie także nie ma rozwiązania skoro już dla \(\displaystyle{ a=6}\)
\(\displaystyle{ 5^7+7^4>5^7>6^6}\).

3. Gdy \(\displaystyle{ b=a-a}\) to :
\(\displaystyle{ (a+1)^{a-1}+ (a-1)^{a+1} = (a-1)^{a-1} }\)
To równanie nie ma rozwiązania bo \(\displaystyle{ (a+1)^{a-1}+ (a-1)^{a+1} > (a-1)^{a+1} > (a-1)^{a-1} }\)

Odp:
\(\displaystyle{ a=b=1 \ \vee \ a=b=2}\)