Matematyka.pl

Bliźniacy mają po \(\displaystyle{ 30}\) lat. Jeden z nich leci do gwiazdy obległej o \(\displaystyle{ 20}\) lat swietlnych z prędkością \(\displaystyle{ V=0,99c}\) bez zatrzymywania i wraca na ziemie. Jawi bedzie wiek bliźniaków po ich ponownym spotkaniu.

Bliźniak na Ziemi obserwuje sytuację lotu brata na odległość 20 lat świetlnych tam i z powrotem czyli łącznie \(\displaystyle{ t_1 = 40}\) lat świetlnych.
Na Ziemi minie wtedy
\(\displaystyle{ t_{Na\ Ziemi} = \frac{s}{v} = \frac{c t_1}{v} = \frac{t_1}{0.99} 40,4
40\ lat\ 147\ dni}\) czyli będzie miał ponad 70 lat
Tymczasem dla brata poruszającego się z dużą prędkością czas będzie krótszy i wyniesie

\(\displaystyle{ t_{Brata} = t_{Na\ Ziemi} \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} = 40,4 \sqrt{1 - (0.99)^2} 5.7 5\ lat\ i\ 255\ dni}\) czyli postarzeje się mniej niż o 6 lat i będzie miał 35 lat i 255 dni

Mogę prosić o dokładniejsze wyjaśnienie?
Skąd wzięły się poszczególne liczby?

Wybierzmy sobie inercjalny układ odniesienia w którym bliźniak na Ziemi spoczywa, a lecący bliźniak porusza się z prędkością o wartości \(\displaystyle{ v=0,99c}\). Stosowny diagram czasoprzestrzenny wykonałem w profesjonalnym programie Paint:

Linia czerwona to linia świata bliźniaka na Ziemi, a zielona - bliźniaka w rakiecie. Czas lotu w jedną stronę mierzony w naszym układzie odniesienia będzie wynosił \(\displaystyle{ t=\frac{l}{v}}\), a w dwie \(\displaystyle{ 2t}\).
Co porównają bliźniacy po ponownym spotkaniu? Czas własny \(\displaystyle{ \tau}\) jaki upłynął na ich zegarkach. A czym jest czas własny? Z dokładnością do stałej jest to długość linii świata! \(\displaystyle{ \tau=\frac{\Delta s}{c}}\). Dlatego warto takie zadania sobie rozrysowywać na diagramach Minkowskiego. Długość czerwonej linii świata będzie wynosiła \(\displaystyle{ 2ct}\), zatem czas własny jaki upłynie na zegarku bliźniaka na Ziemi jest równy \(\displaystyle{ \tau_1=2t}\). Trzeba teraz obliczyć długość linii świata bliźniaka w rakiecie. Składają się na nią dwa zielone odcinki. Mają one taką samą długość, wystarczy więc tylko obliczyć długość jednego z nich. Skorzystajmy z "twierdzenia Pitagorasa" obowiązującego w czasoprzestrzeni:
\(\displaystyle{ \Delta s^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2}\)
i dostosowując wzór do naszego zadania:
\(\displaystyle{ (c\tau)^2=(ct)^2-l^2}\)
skąd
\(\displaystyle{ \tau=\frac{\sqrt{(ct)^2-l^2}}{c}=\frac{l}{v}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{t}{\gamma}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) to czynnik Lorentza. Otrzymaliśmy oczywiście standardowy wzór na 'dylatację czasu'. Zegarek drugiego bliźniaka wskaże \(\displaystyle{ \tau_2=2\tau}\). Można podstawić dane i porównać sobie \(\displaystyle{ \tau_1}\) z \(\displaystyle{ \tau_2}\).

Elementarne wprowadzenia do Szczególnej Teorii Względności (STW) próbują zilustrować fizyczne różnice pomiędzy względnością Galileusza, a STW, formułując różnego rodzaju zagadnienia zwane "paradoksami". Najczęściej spotykane to: "paradoks bliźniąt" (jak w tym zadaniu), paradoks tyczki w stodole" czy paradoks wojny kosmicznej". Ideą tych paradoksów jest przedstawienie zagadnień w taki sposób, że wskazania STW wydają się niekonsystentne i paradoksalne. Stosowanie podstawowych zasad STW nie prowadzi w ogóle do żadnych niekonsystencji: wszystkie paradoksy są pozorne , nierealne i wynikają z pomieszania pojęć galileuszowskich z nowoczesnymi. Niefortunnie beztroski student (studentka) lub uważny student (studentka) beztroskiego nauczyciela nie zauważa, że STW faktycznie nie prowadzi do żadnych paradoksów. Studenci powinni uświadomić sobie, że wszystkie te "paradoksy" są w rzeczywistości zagadnieniami, źle postawionymi matematycznie, że STW jest spójnym obrazem czasoprzestrzeni, sprawdzonym doświadczalnie niezliczoną liczbę razy w sytuacjach, w których efekty grawitacyjne mogą być pominięte. Ponadto tworzy ramy, wewnątrz których każdy współczesny fizyk musi konstruować swoje teorie. Głównym powodem tego, że nowicjusze w STW przykładają do paradoksów większą wagę niż one na to zasługują, jest to, że jesteśmy za mało obeznani z prędkościami porównywalnymi z prędkością światła.
Jednym z najlepszych sposobów wytworzenia nowoczesnej intuicji jest zaznajomienie się z geometrycznym obrazem STW: przestrzeni Minkowskiego, wpływu przekształcenia Lorentza na osie układów i "obraz" takich zjawisk jak dylatacja czasu i skrócenie Lorentza.

Odwołując się do wyidealizowanego diagramu przestrzennego bliźniaka (Bolka) pozostającego w domu, Lolek wpierw podróżuje po linii \(\displaystyle{ P \mathcal{B}. }\) W jego układzie odniesienia (rakiety) zdarzenie Bolka jest równoczesne ze zdarzeniem \(\displaystyle{ \mathcal{B},}\) więc Bolek starzeje się w istocie powoli, lecz gdy Lolek zawraca, zmienia inercjalny układ odniesienia. Nagle zaczyna uważać zdarzenie \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\) za równoczesne ze zdarzeniem Bolka \(\displaystyle{ \mathcal{C} }\) Lolek widzi, że jego bliźniak Bolek starzeje się przez chwilę niewiarygodnie szybko. Ta chwila znaczy więcej niż powolność zaobserwowana przedtem. Numerycznie różnica wieków między bliżniakami wynosi około \(\displaystyle{ 35}\) lat.

To jeszcze powiedz nam czym jest "zdarzenie Bolka". I skoro mówisz o diagramach Minkowskiego to dobrze by było jakbyś je tu przedstawił.

janusz47 pisze: ↑31 mar 2020, o 21:48 Ponadto tworzy ramy, wewnątrz których każdy współczesny fizyk musi konstruować swoje teorie.

No prawie każdy, wielu fizyków materii skondensowanej daje sobie świetnie radę bez relatywistycznych poprawek