szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 sty 2009, o 17:46 
Użytkownik

Posty: 296
Lokalizacja: Polska
Wykaż, że:
a)a^2 \cdot \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + b^2 \cdot \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + c^2 \cdot \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} = x^2, gdzie a \neq b, b \neq c i a \neq c

b) jeśli \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =1
i \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} =0, to
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =1, gdzie a, b, c, x, y, z są rózne od zera.

c) jeśli \frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b}=0, gdzie a \neq b, b \neq c i a \neq c
to \frac{a}{(b-c)^2} + \frac{b}{(c-a)^2} + \frac{c}{(a-b)^2}=0

Proszę o pomoc
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2009, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ad 1.
Jeśli potraktujemy obie strony jako wielomiany stopnia drugiego, to wystarczy zauważyć, że przyjmują te same wartości w trzech punktach a,b,c, a zatem muszą być równe.

Ad 2.
Druga równość to to samo co ayz+bxz+cxy=0, z pierwszej więc mamy:
1=  \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} \right)^2 = 
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} +
 2  \left( \frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca} \right)  = \\ =
\frac{x^2}{a^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2} +
 \frac{2}{abc}  \left( xyc+yza+zxb \right) = \frac{x^2}{a^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}

Ad 3.
Mnożymy pierwszą równość kolejno przez \frac{1}{b-c},\frac{1}{c-a},\frac{1}{a-b}:
\frac{a}{(b-c)^2} + \frac{ab-b^2+c^2-ac}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0 \\
\frac{b}{(c-a)^2} + \frac{a^2-ab+cb-c^2}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0  \\
\frac{c}{(a-b)^2} + \frac{ac-a^2+b^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0
i dodajemy stronami, otrzymując tezę.

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Układ dwóch równań wymiernych.  Anonymous  2
 Rozwiązywanie równań kwadratowych.  TraFicK  6
 rownanie| uklad rownan | parametr  Anonymous  9
 układ równań - zadanie 13  Pshczoolka  2
 Uzasanienie > poniekąd dowod.  Paul0s  6
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl