szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2009, o 20:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 65
Lokalizacja: okolice Wawy
Udowodnij, że istnieje nieskończynie wiele liczb postaci 11, 111, 11...11 podzielnych przez 1997.


Czy można to zrobić tak, że wśród dowolnych 1997 liczb znajdą sie 2 mające tą samą resztę przy dzieleniu przez 1997 (nazwijmy te liczby a i b, a>b), to różnica a-b odpowiednio podzielona przez potęgę liczby 10 będzie podznielna przez 1997, bo 10 i 1997 są względnie pierwsze? Dowolne 1997 liczb złożonych z samych jedynek możemy w nieskończoności znaleźć nieskończenie wiele...

Z góry dziękuje za odpowiedzi;)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2009, o 20:14 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Prawie dobrze.
Bierzemy 1997 liczb. Jeśli któraś z nich jest podzielna przez 1997, to mamy już taką liczbę, a jak nie, to robimy tak jak ty.
Niech ta liczba podzielna przez 1997 będzie p.

Teraz jeszcze przydałoby się pokazać, że istotnie jest ich nieskończenie wiele.
Ale jeśli p ma k cyfr, to wystarczy brać liczby złożone z l\cdot k jedynek, gdzie l \in \mathbb{N}
Bardzo łatwo to udowodnić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2009, o 22:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 65
Lokalizacja: okolice Wawy
czyli... dla dowolnego l liczba zbudowana z samych jedynek których jest k*l będzie podzielna przez 1997.

Dzięki wielkie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 suma potęg- podzielność przez 6  mlp99  3
 Wykaż, że podane liczby są podzielne przez...  elektryk1  2
 kwadrat podzielony przez 5 daje resztę 1  justynache23  2
 Liczba pierwsza, podzielność  patry93  7
 Podzielność liczb. - zadanie 3  paulinka24  16
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl