szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2005, o 20:59 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Janów L.
Witam.
Mam zadanie o treści: wykazać że 30|n^5-n.
Wyciągam kolejno n przed nawias, potem wyciągam wzory skróconego mnożenia i przechodze do indukcji, tylko dochodząc do dowodu, nie jestem wstanie przekształcić, tak aby skorzystać z założenia. I się "zakopuje"

Dziękuje za wszelką pomoc.
Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2006, o 21:18 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: polski
mój pomysł jest dość żmudny, (3 strony :] ) ale działa.
Wykonaj (k+1)^5 - k +1. Wyłącz z wyniku k^5-k zapisując ją jako 30t. Następnie z reszty wyjdzie ci 5(k^4+2k^3+2k^2+k). Musisz indukcyjnie udowodnić, że nawias dzieli sie przez 6. No, kolejne obliczenia, znowu podstawienie i wychodzi, że musisz udowodnić podzielność 2k^3 + 6k^2 + 7k + 3przez 3, a to już na szczęście koniec :]
Na pewno jest szybszy sposób, ale nie w mojej głowie...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2006, o 22:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Gdy już sobie udowodnisz indukcyjnie ten nawias, że jest podzielny przez 6, to przecież nawiast mnożysz przez 5, czyli całość dzieli się przez 30 :), a 2 liczby dzielą się przez 30 to ich suma również i ja już na tym bym zakończył.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2006, o 22:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 357
Lokalizacja: Białogard/Warszawa
n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 +1)

Podzielność przez 2: dość oczywista ;)
Podzielność przez 3: jeśli n nie jest podzielne przez 3 to (n^2 - 1) już jest ;)
Podzielność przez 5: jeśli n nie jest podzielne przez 5 to albo (n^2 -1 ) albo (n^2 + 1) jest podzielne przez 5.

A skoro liczba jest podzielna przez 2, 3 i 5 to jest podzielna przez 30 :]

* Apropos podzielności przez 5 - łatwo pokazać, że jeśli n nie jest liczbą postaci 5k to n^2 jest postaci 5k+1 lub 5k+4.

P.S. Wybacz, zapomniałem, że to ma być indukcja _-_
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2006, o 10:42 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
rotie,

Twój pomysł nie jest dość żmudny i na 3 strony :) ...

Założenia:

n^5-n=30l_1\,\Longleftrightarrow\, (n+1)^5-(n+1)-5n(n+1)(n^2+n+1)=30l_1

Teza:

(n+1)^5-(n+1)=30l_2

Dowód:

(n+1)^5-(n+1)=30l_1+5n(n+1)(n^2+n+1)=30l_2

Łatwo zauważyc, że drugie wyrażenie jest podzielne przez 5 i przez 2. Jeśli n lub n+1 nie jest podzielne przez 3 to n+2 jest podzielne przez 3. Wtedy n=3k-2. Podstawmy do ostatniego nawiasu i mamy: 9k^2-12n+4+3k-2+1=9k^2-9k+3

I to by było na tyle :) ... + jeszcze 2 linijki na I i III krok.

PS.

5n(n)(n+1)(n^2+n+1)=5(n^3+2n^2+2n+1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2006, o 15:51 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: polski
Zlodiej, jest, bo wpadłem dziś na krótszy
(n-1)n(n+1)(n^2+1) iloczyn (n-1)n(n+1) to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, zatem podzielny przez 2 i przez 3 a więc przez 6 :]. Korzystając z założenia wystarczy wykazać, że n^5-n jest podzielne przez 5.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2006, o 15:17 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Sanok
rotie- z ktorego zalozenia wychodzi ze jest podzielne przez 5- drogie od gory??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2006, o 16:16 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: polski
wskaż o co pytasz, bo nie wiem co to to drugie od góry jest ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż podzielność - zadanie 8  jm  8
 Podzielność wzorów przez l. naturalne [udowodnić]  patry93  4
 indukcja L=P  eth3r  1
 indukcja matematyczna (równania rekurencyjnego)  szabawka  13
 Indukcja i podzielność przez 6  Marti44  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl