szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sty 2009, o 20:25 
Użytkownik

Posty: 414
Lokalizacja: C:/WINDOWS/pulpit
Wykaż, że jeśli w ciągu geometrycznym o różnych wyrazach dodatnich dla każdej liczbyn należącej do naturalnych dodatnich, prawdziwy jest wzór:
2S_n+2S_2n=3S_3n to q= \sqrt[n]{ \frac{\sqrt{13}-1}{6} }
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sty 2009, o 20:42 
Użytkownik

Posty: 807
Wzór na wyraz ogólny sumy n wyrazów w ciągu geometrycznym:

S = a_1 \frac{1 - q^n}{1-q}

Mamy zatem:

2  \cdot a_1 \frac{1 - q^n}{1-q} + 2  \cdot a_1 \frac{1 - q^{2n}}{1-q} = 3  \cdot a_1 \frac{1 - q^{3n}}{1-q}
Po kilku przekształceniach dochodzimy do postaci:
3q^{3n} - 2q^{2n} - 2q^n + 1 = 0
Podstawiamy:
t= q^n
3t^3 - 2t^2 - 2t + 1 = 0
Pierwiastkami wielomianu są liczby:
t = 1 \\ t = \frac{-1- \sqrt{13}}{6} \\ t = \frac{-1+ \sqrt{13}}{6}
Pierwszy z nich nie spełnia warunków zadania ( q \neq 0 ). Drugi jest ujemny więc dla parzystych n także nie spełnia warunków, zatem bierzemy trzeci, mamy:

q^n = \frac{-1+ \sqrt{13}}{6} \\ q = \sqrt[n]{\frac{-1+ \sqrt{13}}{6}}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (2 zadania) Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego  Anonymous  2
 (2 zadania) Rozwiąż równanie. Wykaż, że to ciąg geome  Anonymous  2
 Znajdź sumę wyrazów ciągu geometrycznego, nieskończone  Anonymous  2
 Oblicz 20sty wyraz ciągu arytmetycznego  pitreq  2
 Suma ciągu geometrycznego  mhm  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl