szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2009, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 305
Wykaz ze dla każdej liczby całkowitej n liczba n^3-n jest podzielna przez 6.


dochodzę do postaci:

(n-1)n(n+1)

jakaś wskazówka?

Czy domyślasz się, po co został stworzony dział podzielność?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2009, o 20:05 
Gość Specjalny

Posty: 3053
Lokalizacja: Świdnik
Liczba jest podzielna przez 6 gdy jest podzielna przez 2 i 3, podstaw sobie pod postać z nawiasami kilka n kolejnych i zobaczysz dlaczego to jest prawda
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2009, o 20:06 
Użytkownik

Posty: 305
no wiem jak podstawilem 2 to dzieli sie przez 3
ale jak podstawilem 1 to wyszlo n-1 czyli 0...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2009, o 20:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1464
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
abc666, nie ucz ludzi brzydkich nawyków.

6|(n-1)n(n+1) \Leftrightarrow 2|(n-1)n(n+1) \wedge 3|(n-1)n(n+1)

Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 3, bo jak łatwo zauważyć liczby podzielne przez 3 "powtarzają się" co 3.

Podobnie dowodzimy z dwójką.

Przy okazji 0 jest podzielne przez 6, więc dla n=1 też się zgadza...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2009, o 20:31 
Użytkownik

Posty: 305
no ale tam sa nawiasy... czyli powinno byc mnozenie :|
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2009, o 20:32 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1464
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Nie do końca rozumiem Twoje wątpliwości. 0 \cdot 1 \cdot 2=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2009, o 22:20 
Gość Specjalny

Posty: 3053
Lokalizacja: Świdnik
tkrass napisał(a):
abc666, nie ucz ludzi brzydkich nawyków.


Złym nawykiem jest znajdowanie rozwiązania samemu? Czy o coś innego chodzi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2009, o 22:23 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1464
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Nie, złym nawykiem jest rozumowanie indukcyjne zamiast dedukcyjnego. Oczywiście mówię tylko o zadaniach matematycznych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2009, o 10:03 
Użytkownik

Posty: 90
mógłby ktoś to wytłumaczyć? Ja robię to zadanko i tak mam n^{3}-n rozbijam to na iloczyn i mam n(n-1)(n+1). Wiadomo, że liczba jest podzielna przez 6 jeśli dzieli się przez 3 i 2 jednocześnie. czyli to n(n-1)(n+1) to jest jedna liczba. I teraz pytanie czy można przyjąć że każdy element np n-1 to jest cyfra jakiejś liczby? Jak tak to można zrobić tak, że: n+n-1+n+1=3n Liczbqa jest podzielna przez trzy jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3. Wiadomo, że liczba 3n da się podzielić na 3. Czy dobrze rozumuję? Na podzielność przez 2 to nie wiem jak udowodnić i proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2009, o 18:10 
Użytkownik

Posty: 869
Mamy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. W tej trójce znajdzie się zawsze jedna liczba podzielna przez 3 (chyba nie trzeba tłumaczyć, dlaczego) i co najmniej 1 podzielna przez 2 (tego także chyba nie trzeba tłumaczyć). Więc skoro w iloczynie jeden składnik jest podzielny przez 3, i co najmniej jeden podzielny przez 2, więc iloczyn jest na pewno podzielny przez 6.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2009, o 20:03 
Użytkownik

Posty: 90
Dzięki kaszubski po twojej wypowiedzi zrozumiałem o co w tym chodzi. Dzieki jeszcze raz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2010, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Wielkopolska
Witam, mam jedno pytanko. Czy to zadanie : Wykaz ze dla każdej liczby całkowitej n liczba n^3-n jest podzielna przez 6 zostaje rozwiązane w pełni poprawnie, gdy zrobimy tak:

n^3-n = (n-1)n(n+1)
Mamy więc mnożenie trzech kolejnych liczb całkowitych i:
-jedna z nich jest podzielna przez 3
-min. jedna z nich jest podzielna przez 2
Liczba jest podzielna przez 6, gdy dzieli się jednocześnie przez 2 i przez 3, zatem n^3-n jest podzielne przez 6. c.n.u. ?

Czy mogę zapisać to inaczej? Chodzi mi o to czy mogę w formie zapisu matematycznego pokazać, że jak gdyby pragnę wykazać podzielność n^3-n przez 6, czyli zapisać coś w rodzaju n^3-n= \frac{1}{6} n, że jakby zakładam na początku, że ta liczba jest podzielna przez 6 i potem próbuję to udowodnić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2010, o 20:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
To co napisałeś wystarczy, jeżeli chcesz inaczej możesz to wykazać przez indukcję matematyczną.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2010, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Wielkopolska
Kurcze, dzięki za odpowiedź, ale ta indukcja matematyczna... Przyznam szczerze, że to obcy mi termin. Mógłbyś pokazać, jak za jej pomocą, przeprowadzić ten dowód?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2010, o 20:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Mamy:

n^3-n

Na początku sprawdzamy dla n=1:

1^3-1 = 0

0 dzieli się przez 6.

Założenie indukcyjne: n^3-n = 6k

Teza: n=n+1

(n+1)^3 - (n+1) = n^3+3n^2+3n+1-n-1 = n^3+3n^2+2n = n^3-n+3n^2+3n

n^3-n jest podzielne przez 6 zgodnie z założeniem, więc mamy:

6k + 3n^2+3n = 6k + 3n(n+1)

Aby 3n(n+1) było podzielne przez 6, n(n+1) musi być podzielne przez 2, to wyrażenie będzie podzielne przez 2, ponieważ jest to iloczyn 2 kolejnych liczb naturalnych, w którym zawsze znajdzie się jedna liczba parzysta. CND.

Pozdrawiam.

PS. Indukcji matematycznej stosuje się do trochę trudniejszych przykładów, tutaj możemy bez problemu to rozwiązać nie używając jej :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl