szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2009, o 19:39 
Użytkownik

Posty: 100
Proszę o pomoc:P :mrgreen:


Wykaż, że dla każdego naturalnego "n", 10^{n}+2 (to JEST podzielne przez 3),
10^{3n}+10^{2n}+10^{n} jest podzielne przez 3.

Jedne klamry nad całym wyrażeniem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2009, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 869
10 daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3, więc każda naturalna potęga 10 też daje resztę 1. A 1+1+1=3, czyli ta suma daje resztę 0 przy dzieleniu przez 3.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 sty 2009, o 20:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 24
Można udowodnić to indukcyjnie:
zakładamy, że 10^{n}+2 jest podzielne przez 3

zgodnie z zasadą indukcji wzór ten dla następnego wyrazu również powinien być podzielny przez 3

10 ^{n+1}+2=10 \cdot 10 ^{n}+2=10 \cdot (10 ^{n}+2)-18

z zał. 10 ^{n}+2 jest podzielne przez trzy więc oznaczmy to jako 3 \cdot p

tak więc mamy 10 \cdot 3 \cdot p-3 \cdot 6=3 \cdot (10 \cdot p -6)

widać więc, że liczba 10 ^{n+1}+2 jest podzielna przez 3 więc 10^{n}+2 również jest podzielne przez 3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2009, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 869
Można to jeszcze zrobić na sumach cyfr. 10 ^{n} to 1 i n zer, czyli suma cyfr to 1. Reszta z dzielenia jakiejś liczby przez 3 to reszta z dzielenia sumy jej cyfr przez 3.
przykład 1.) 1+2=3, a 3 jest podzielne przez 3.
przykład 2.) 1+1+1=3, a 3 jest podzielne przez 3.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 sty 2009, o 21:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 24
analogicznie do 1

zał 10 ^{3n}+10 ^{2n}+10 ^{n} jest podzielne przez 3
teza 10 ^{3(n+1)}+10 ^{2(n+1)}+10 ^{n+1} jest podzielne przez 3

10 ^{3(n+1)}+10 ^{2(n+1)}+10 ^{n+1}=10 ^{3} \cdot 10 ^{3n}+10 ^{2} \cdot 10 ^{2n}+10 \cdot 10 ^{n}= 10 ^{3} \cdot (10 ^{3n}+10 ^{2n}+10 ^{n})-900 \cdot 10 ^{2n}-990 \cdot 10 ^{n}

z zał 10 ^{3n}+10 ^{2n}+10 ^{n} jest podzielne przez 3 i oznaczamy to jako 3 \cdot p

10 ^{3} \cdot 3 \cdot p-900 \cdot 10 ^{2n}-990 \cdot 10 ^{n}=3 \cdot (10 ^{3} \cdot p-300 \cdot 10 ^{2n}-330 \cdot 10 ^{n})
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2009, o 15:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1877
Lokalizacja: Warszawa
duchess - Po co wyciągać armatę na muchę :P?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl