szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 sty 2009, o 17:10 
Użytkownik

Posty: 82
Lokalizacja: Szprotawa
Wykaż, że liczba n ^{6}-2n ^{4}+n^{2} jest podzielna przez 36 dla każdego n\in\mathbb{N}

Jedne klamry nad całym wyrażeniem. Sugerowałabym również nie stosować w temacie wykrzykników, szczególnie po liczbie...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sty 2009, o 17:27 
Użytkownik

Posty: 225
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
n ^{6}-2n ^{4}+n^{2}= n^{2}(n^{4}-2n^{2}+1)=n^{2}(n^{2}-1)^{2}=n^{2}[(n-1)(n+1)]^{2}=[(n-1)n(n+1)]^{2}

dla n=1 lub n=0, powyższe wyrażenie wynosi 0, a 0 dzieli się przez 36 bez reszty (wg jednej definicji 0 wliczamy do liczb naturalnych, wg innej nie).
gdy n \ge 2:
Wśród trzech kolejnych liczb większych od zera znajduje się co najmniej jedna liczba podzielna przez 2 i jedna liczba podzielna przez 3, czyli wyrażenie (n-1)n(n+1) jest podzielne przez 2 i 3, więc także i przez 6. Skoro tak to [(n-1)n(n+1)]^{2} jest podzielne przez 6^2=36.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2009, o 16:27 
Użytkownik

Posty: 869
n ^{6}-2n ^{4}+n ^{2} =(n ^{3}-n ) ^{2}=((n-1)*(n)*(n+1)) ^{2}.
Wyrażenie (n-1)*(n)*(n+1) jest podzielne przez 6, gdyż jest to iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych - będzie na pewno jedna podzielna przez 3 i co najmniej jedna podzielna przez 2. A jeśli liczba a jest podzielna przez liczbę b, to a ^{2} jest podzielna przez b ^{2}. Więc ((n-1)*(n)*(n+1)) ^{2} jest podzielne przez 36.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 sty 2009, o 17:36 
Gość Specjalny

Posty: 2826
Lokalizacja: Lublin/warszawa
kaszubki, a tak z czystej ciekawości: czym zasadniczo się różni Twoja wypowiedź od posta Morgusa? Poza jednym mało istotnym drobiazgiem?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl