szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2005, o 23:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
TRZY CECHY PODZIELNOŚCI PRZEZ 7


Cecha pierwsza:


Odnosi się ona do liczb większych niż dwie cyfry, tzn. większych od 99.

Weźmy zatem dowolną liczbę większą od 99. Następnie w tej liczbie "odcinamy" dwie ostatnie cyfry i to co nam pozostało z liczby, mnożymy przez 2. I do tego iloczynu dodajemy, to co odcięliśmy. Zabieg powtarzamy aż do uzyskanie liczby dwucyfrowej, co do której już mamy pewność, czy jest podzielna przez 7 czy też nie. Oczywiście trzeba trochę przykładów, bo sama teoria, to za mało.

Przykład: 12345

Zgodnie z przepisem odcinamy dwie ostatnie cyfry i otrzymujemy w ten sposób liczbę 123, którą mnożymy przez 2 i mamy już 246. Do niego zaś dodajemy, to co odcięliśmy, czyli 45 i już jest 291. Nie mamy pewności co do tej liczby, więc czynimy to samo. Odcinamy 91, 2 mnożymy przez 2, otrzymujemy 4, dodajemy resztę, czyli 91 i... widzimy, że 95 nie jest podzielne przez 7, więc i liczba 12345 nie jest podzielna przez 7.

Ach, a jakby ktoś nie był pewny liczby dwucyfrowej, to niech pomnoży cyfrę dziesiątek przez 3, doda cyfrę jedności i powtarza to, aż nie uzyska siódemki.


Cecha druga:


Jedna z najbardziej znanych i jednocześnie nieczęsto praktyczna, warunkiem jest tu liczba większa od 999, czyli co najmniej czterocyfrowa.

Gdy sprawdzamy tą metodą, to musimy od liczby utworzonej z trzech ostatnich cyfr liczby sprawdzanej odjąć liczbę utworzoną z pozostałych cyfr tej liczby i w zależności czy ta różnica jest wielokrotnością 7 czy też nie, liczba sprawdzona jest podzielna bądź też nie.

Przykład: 54163

Liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr, to 163 a druga liczba to 54. Teraz odejmujemy 163-54 = 109, które nie jest podzielne przez 7, więc i 54163 nie jest podzielne.


Cecha trzecia:


Finalna cecha podzielności prezentuje się następująco:

Jeżeli mamy daną liczbę n, to dzielimy ją na mniejsze sześciocyfrowe "segmenty" poczynając od prawej. Następnie z każdej z tych sześciocyfrowych liczb wyciągamy poszczególne cyfry i zapisujemy takie oto działanie:

a_{1}-a_{4}+3 \left( a_{2}-a_{5} \right) +2 \left( a_{3}-a_{6} \right)

Gdzie a_{k} to cyfra o numerze k, licząc od prawej.

Obliczamy to dla każdej z tych liczb-segmentów, a następnie dodajemy wszystko razem i sprawdzamy, czy ta suma jest podzielna przez 7. Jeżeli jest, to liczba n jest podzielna przez 7, a jeżeli nie... to chyba jasne ;).


Przykład: 8012549876321547


Dzielimy ją więc na te "segmenty" (koniecznie od prawej poczynając) i mamy:

s_{1} = 321547 \\ s_{2} = 549876 \\ s_{3}= 8012

Oczywiście s z odpowiednim wskaźnikiem, to kolejny nasz segment i obliczamy:

7-1+3 \cdot  \left( 4-2 \right) +2 \cdot  \left( 5-3 \right)  = 6 + 6 + 4 = 16 \\ 6-9+3 \cdot  \left( 7-4 \right) +2 \cdot  \left( 8-5 \right)  = -3 + 9 + 6 = 12 \\ 2-8 +3 \cdot  \left( 1-0 \right) +2 \cdot  \left( 0-0 \right)  = -6 + 3 = -3

Mamy już sumy cząstkowe z każdej z sześciocyfrowych liczb i teraz je dodamy:

16 + 12 - 3 = 25

A jak wiemy doskonale 25 nie dzieli się przez 7, więc i liczba 8012549876321547 nie dzieli się przez 7. Chyba nietrudne?


Praktyka. Przepisy dla liczb różniących się ilością cyfr:


1) Liczba jednocyfrowa: tu raczej problemów nie ma ;). Tu może być tylko 0 i 7 podzielne przez 7, więc idźmy dalej.

2) Liczba dwucyfrowa: cyfrę dziesiątek mnożymy przez 3 i dodajemy cyfrę jedności, aż nie uzyskamy pewności, że liczba jest podzielna przez 7 (czytaj, aż do uzyskania siódemki).

3) Liczba trzycyfrowa: stosujemy pierwszą z cech u góry podanych aż do otrzymania liczby dwucyfrowej i patrz punkt drugi.

4) Liczba czterocyfrowa: stosujemy cechę drugą, a potem patrz punkt trzeci.

5) Liczba pięciocyfrowa: cecha druga, a potem w zależności od wyniku patrz punkt drugi bądź też trzeci.

6) Liczba sześciocyfrowa: cecha druga, punkt trzeci.

7) Liczby większe: albo cecha druga aż do uzyskania trzycyfrowej i punkt trzeci, choć lepiej jest sobie przyswoić cechę trzecią - po niej praktycznie nie trzeba już poprawiać ;).


Oczywiście przykładzik: 698254

Punkt szósty: 698 - 254 = 444
Punkt trzeci: 4 \cdot 2 + 44 = 8 + 44 = 52
Jak ktoś nie jest pewien, to punkt drugi: 3 \cdot 5 + 2 = 17 i jeszcze raz: 3 \cdot 1 + 7 = 10 i jeszcze jeden: 3 \cdot 1 + 0 = 3.

Teraz już mamy pewność, że siedem nie dzieli 698254.

---

Polecam stosować. Po małym treningu (by "weszło w krew") sprawdzacie liczby szybciej, niż ktoś je wpisze w kalkulator! A jeszcze, gdy jest to kalkulator ośmiopozycyjny, to już nie ma z wami żadnych szans! :D

---------------------------------------------------------------------------------------------------------


WSPÓLNA CECHA PODZIELNOŚCI DLA 8, 16 i 32



Będę się tu opierał i odwoływał do pierwszej zasady przez 7, więc warto ją pojąć.
Weźmy cechę podzielności przez 8, która widnieje wyżej. Jest tam takie jedno sformułowanie, które czyni ją baaaaardzo niepraktyczną. Chodzi mi tutaj o "jeśli trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę trzycyfrową podzielną przez 8". Nasuwa się pytanie: skąd mam wiedzieć, czy dana liczba trzycyfrowa jest podzielna przez 8? Trzeba dzielić w głowie, a nie oto przecież chodzi w cechach podzielności, nieprawdaż? Przejdźmy jednak do rzeczy.

Całe sprawdzanie robi się bardzo podobnie, co dla siódemki, z jednym drobnym wyjątkiem: po odcięciu dwóch ostatnich cyfr trzeba pomnożyć przez 4, a nie przez 2 i dodać ową odciętą liczbę. Lecz to jeszcze nie koniec. W zależności jaka wyjdzie nam suma, czy podzielna przez 8, czy przez 16, czy przez 32, to tak też ta pierwotna liczba się dzieli!

Zaprezentujmy przykład:

Weźmy liczbę 272. Odcinamy 72 i mnożymy 2 przez 4, a następnie sumujemy, otrzymując w rezultacie 80, które jak wiemy jest podzielne przez 8, ale i także przez 16, więc i liczba 272 dzieli się przez 8 i 16, ale przez 32 już nie. Biorąc za to 128, łatwo przekonujemy się, że dzieli się również przez 32: 28 + 4 \cdot 1 = 32, co z pewnością jest podzielne przez 32, więc chyba wszystko jasne?




Zaktualizowano 15.01.2013r. Ponewor
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zasady podzielności  Arek  0
 Znajdowanie NWD danych liczb.  Anonymous  1
 Pary liczb - zadanie 3  LadyM  8
 Losowanie liczb trzycyfrowych  Nividis  2
 Losowanie liczb - zadanie 40  Gomel  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl