szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2008, o 21:32 
Użytkownik

Posty: 3895
Lokalizacja: Warszawa
Będziemy korzystać z równania ogólnego prostej:

Ax + By + C = 0.

Wektor prostopadły do prostej ma współrzędne \vec{u} = [kA, kB].

Aby się o tym przekonać wystarczy wyznaczyć wektor równoległy do prostej, korzystając z jej wzoru, oraz zwrócić uwagę na fakt, że wektory [x,y], [-y,x] są prostopadłe, gdyż ich iloczyn skalarny się zeruje.

Możemy zatem napisać taki układ równań:

\begin{cases} x = x_0 - kA \\ y = y_0 - kB \end{cases}

gdzie (x,y) to punkt leżący na prostej. Wobec tego mamy (rozumowanie chwilowo nie obejmuje przypadku prostych postaci x=a)

y = \frac{-Ax - C}{B}.

Pomnóżmy obustronnie pierwsze równanie przez A, a drugie przez B:

\begin{cases} Ax_0 - kA^2 = Ax \\ By_0 - kB^2 = -Ax - C \end{cases}

Dodajmy stronami:

Ax_0 + By_0 + C = k(A^2 + B^2) \\ \\
k = \frac{Ax_0 + By_0 + C}{A^2 + B^2} \\ \\
k^2 = \frac{(Ax_0  + By_0  +C)^2}{(A^2 + B^2)^2}\quad | \cdot (A^2 + B^2) \\ \\
(kA)^2 + (kB)^2 = \frac{(Ax_0 + By_0 + C)^2}{A^2 + B^2} \\ \\
\sqrt{(kA)^2 + (kB)^2} = \|\vec{u}\| = d = \frac{|Ax_0  +By_0 + C|}{\sqrt{A^2  +B^2}}. \ \blacksquare

Chociaż wyprowadzenie nie obejmuje przypadku, gdy prosta jest postaci x=a, to nietrudno sprawdzić, że w tym przypadku wzór również jest prawdziwy.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyprowadzenie wzoru na odległość punktu od prostej  Anonymous  3
 równanie prostej - zadanie 26  RafalM  3
 Równanie prostej - zadanie 70  freddie.  1
 cięciwa wycięta z prostej przez okrąg  Marie  2
 Całka ze wzoru Greena  rafal9541  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com