szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2009, o 14:42 
Użytkownik

Posty: 175
Lokalizacja: Polska
Zad.
W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (a,b) dla których funkcja f(x)=\frac{ax+2}{x+b} jest funkcją homograficzną, malejącą w każdym z przedziałów (- \infty ,2),(2,+ \infty ).

Inna postać funkcji homograficznej:f(x)=\frac{qx+c}{x-p}, gdzie a_f=pq+c
Aby funkcja homograficzna była malejącą w podanych przedziałach to a_f>0, a więc podstawiając:
a_f=-ba+2
-ab+2>0 \iff ab<2
D_f=R  \backslash \{2\}\  \Rightarrow -b=2 (b=-2)
czyli ostatecznie ab<2 \iff a<-1, gdzie b=-2

czyli w układzie współrzędnych mam zaznaczyć funkcję stałą o równaniu b=-2 dla a \in (- \infty ,-1).

Czy dobrze rozwiązałem zadanie??
Bardzo proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2009, o 15:28 
Użytkownik

Posty: 2481
Lokalizacja: Lublin
Niestety trochę w błędzie jesteś (pod koniec nie zmieniłeś znaku nierówności na przeciwny). Powiem Ci, że w matematyce nie warto korzystać aż nadto z wyuczonych wzorów, tym bardziej jeśli nie wiadomo skąd one się wzieły. W tego typu zadaniu proponowałby wprost z def. monotoniczności skorzystać. Ja bym to zrobił następująco:

f(x)=\frac{ax+2}{x+b}

D_f \ : \ (-\infty,2)\cup (2,\infty)\Rightarrow b=-2 - to chyba oczywiste jest

Teraz weźmy dwa takie argumenty x,y, że: x,y\in (-\infty,2) \ , \ x<y. Zbadamy teraz następującą różnicę:

f(x)-f(y)=\frac{ax+2}{x-2}-\frac{ay+2}{y-2}=\frac{(ax+2)(y-2)-(ay+2)(x-2)}{(x-2)(y-2)}=\frac{-2ax+2y+2ay-2x}{(x-2)(y-2)}=\frac{2(a+1)(y-x)}{(x-2)(y-2)}

Teraz na mocy wcześniejszego wyboru argumentów x i y wiemy, że mianownik powyższego wyrażenia jest dodatni (iloczyn dwóch wartości ujemnych), w liczniku natomiast,drugi "nawias" jest również dodatni. całe wyrażenie musi być oczywiście dodatnie (aby funkcja była malejąca na przedziale (-\infty,2) ), więc musi być spełniony zatem warunek:

(a+1)>0\\
\\
a>-1

Analogiczne rozumowanie otrzymamy zakładając x,y\in(2,+\infty) \ , \ x<y (mianownik dodatni jako iloczyn dwóch wartości dodatnich)

Wiec ostatecznie zbiorem szukanych punktów na płaszczyźnie będzie wykres funkcji stałej y=-2 na przedziale (-1,+\infty).

P.S. Skąd masz te wzory?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2009, o 15:43 
Użytkownik

Posty: 175
Lokalizacja: Polska
ale jak zmienia znak w swoim rozwiązaniu to też dobrze będzie rozwiązane?

P.S. Pani podał nam te wzory :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2009, o 16:11 
Użytkownik

Posty: 2481
Lokalizacja: Lublin
Tak. będzie dobrze. A podała wam ta pani skąd się wzieły te wzory?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2009, o 17:07 
Użytkownik

Posty: 175
Lokalizacja: Polska
nie podała skąd się wzięły te wzory :| , a wiesz jak je wyprowadzić??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2009, o 17:48 
Użytkownik

Posty: 2481
Lokalizacja: Lublin
No ładnie. Przez takich ludzi jak ta pani, wielu często zniechęca się do matmy. Jak chcesz spróbuj sam wyprowadzić te wzory sobie. Trzeba skorzystać z def. monotoniczności po prostu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2009, o 22:00 
Użytkownik

Posty: 175
Lokalizacja: Polska
f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}
\vec{v}=[p,q]
f(x)=\frac{\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}}{x+\frac{d}{c}}
D_f=R \backslash \  \{ p \}  \Rightarrow  p=\frac{-d}{c}
Y_f=R \backslash \  \{ q \}  \Rightarrow  p=\frac{a}{c}
f(x)=\frac{qx+\frac{b}{c}}{x-p}
noi i nie wiem tylko skąd się w moim wzorze wzięło tylko c, bo przecież jakim cudem c=\frac{b}{c} ??????

P.S. Ja nie narzekam na Panią :) , a matematykę lubię
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2009, o 20:09 
Użytkownik

Posty: 2481
Lokalizacja: Lublin
Ta stała c to inna stała w tych wzorach funkcji homograficznej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lut 2009, o 14:36 
Użytkownik

Posty: 175
Lokalizacja: Polska
aha, dzięki wielkie za odpowiedź :wink:
Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.  Anja  4
 Badanie różnowartościowości funkcji.  Anonymous  1
 Badanie parzystości funkcji.  jackass  5
 Wyznaczanie asymptot funkcji f(x)=sqrt(x^2+x+1)-1-(1/x)  bartekf  1
 Równania wymierne z parametrem.  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl