szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2009, o 15:25 
Użytkownik

Posty: 2
Panie i Panowie,

Rzeczy mają się tak: jestem humanistą, któremu czasem dziwne myśli chodzą po głowie (jak to humanistom). Moja wiedza matematyczna jest mniej niż nikła (jak to zwykle u humanistów). Czasem zapisuję sobie myśli, które uznaję za ciekawe i tak właśnie stało się z myślami na temat... liczb pierwszych. Chciałbtm się dowiedzieć (ale nie mam od kogo), czy
a) to, co napisałem ma jakikolwiek sens
b) czy piszę o rzeczach powszechnie znanych, od czasów powiedzmy Pitagorasa, czy też może jest tam ślad czegokolwiek nowego albo zajmującego (wątpię, ale czemu nie sprawdzić)
c) czy (jeśli odpowiedź na pytanie b jest pozytywna) to wszystko może być do czegokolwiek przydatne (na przykład do znajdowania bardzo dużych liczb pierwszych).
I to wszystko. Pozdrawiam wszytkich!

..................................................

O liczbach pierwszych doskonałych

Dlaczego 23 jest wyjątkowo ładną liczbą pierwszą? Na pierwszy rzut oka wydaje się, że jej urok wynika z faktu, że w zapisie pojawiają się dwie kolejne cyfry: „2” i „3”. Jednak podobnych liczb pierwszych (które zapisujemy w postaci kolejnych cyfr) jest więcej i 23 nie jest pod tym względem odosobniona. Porażające piękno liczby 23 polega – przynajmniej dal mnie – na tym, że każda z występujących w zapisie, kolejnych cyfr oznacza liczbę pierwsza, a jednocześnie suma cyfr (5) to również liczba pierwsza.

Oczywiście, liczb mających podobne właściwości, jak liczba 23 jest więcej. Jednak nie znajdziemy już ani jednej wśród liczb dwucyfrowych. Następną „liczbą pierwszą doskonałą” (czyli w skrócie: LPD) jest 223 („2”,”2”,”3” oraz 2+2+3=7). Za kolejną moglibyśmy uznać 227 jednak jeśli zaostrzymy nasz warunek, dotyczący sumy cyfr, ustalając, że i ona musi składać się w zapisie z cyfr, reprezentujących liczby pierwsze, będziemy musieli ją odrzucić (2+2+7=11, a jeden nie jest przecież ani liczbą pierwszą, ani złożoną). Z tej samej przyczyny będziemy musieli odrzucić 337, 353, 373 etc., aż do…. 2777! Jak widać, w przedziale od 2 do 2777, nasze warunki dla LPD spełnia tylko jedna liczba dwucyfrowa (23), jedna trzycyfrowa (223) i czterocyfrowa (2777).

Właściwości struktury LPD

Wyciągnijmy kilka oczywistych wniosków.
a) Skoro LPD zapisujemy, używając tylko cyfr, które reprezentują liczby pierwsze, to w zapisie LPD mogą pojawić się zaledwie cztery cyfry: „2”,”3”,”5” i „7” (ilekroć będzie mowa o cyfrze w zapisie liczby, będę ją brał w cudzysłów). Nie uznajemy przy tym za LPD liczb 2,3,7, jako że nie może być tu mowy o sumie cyfr.
b) Ponieważ LPD są liczbami pierwszymi, „2” i „5” nie mogą się pojawić na ostatnim miejscu w zapisie, tak więc zapis każdej LPD musi kończyć się cyfrą „3” albo „7”.
c) Ponieważ suma cyfr LPD musi być liczbą pierwszą (1-cyfrową albo LPD), a więc liczbą nieparzystą, zapis musi zawierać nieparzystą liczbę cyfr oznaczających liczby nieparzyste („3”,”5”,”7”) gdyż inaczej suma cyfr byłaby parzysta.
Na przykład:
- w zapisie 2-cyfrowej LPD musi pojawić się jedna cyfra, oznaczająca liczbę nieparzysta i jedna - parzystą (oczywiście „2”).
- w zapisie 3-cyfrowej LPD musi pojawić się jedna albo trzy cyfry, oznaczające liczby nieparzyste, itd.
Lepiej tę samą właściwość można zdefiniować, biorąc za podstawę obecność w zapisie cyfry „2”:
- 2-cyfrowa LPD: musi wystąpić jedna „2”
- 3-cyfrowa LPD: „2”może nie wystąpić, bądź muszą wystąpić dwie „2”
- 4-cyfrowa LPD: musi wystąpić jedna albo trzy „2”
- 5-cyfrowa LPD: „2” może nie wystąpić, bądź muszą wystąpić dwie albo cztery „2”.

[Dla ułatwienia będę dalej używał następującego zapisu:
„2”(0) – cyfra dwa nie występuje w zapisie
„2”(1) – cyfra dwa występuje w zapisie jednokrotnie etc.- będę stosował tę notację także w odniesieniu do innych cyfr.
Ilość cyfr w zapisie liczby będę oznaczał jako L(2), L(3) etc. co oznacza liczby 2-cyfrowe, 3-cyfrowe etc. Ilość cyfr w zapisie LPD oznaczam analogicznie LPD(2), LPD(3) etc., co oznacza 2-cyfrową LPD, 3-cyfrową LPD etc.]

Szukamy LPD

Wszystkie wnioski, które wymieniliśmy w pewien sposób ułatwiłyby nam szukanie kolejnej LPD (następującej po 2777). Jednak możemy jeszcze bardziej ułatwić sobie zadanie.
Jaka może być suma cyfr kolejnej LPD?

[Dla ułatwienia sumę cyfr będę oznaczał jako SC, na przykład SC(2,3)=5. Celowo wstawiam przecinek między kolejne cyfry, kolejność cyfr w zapisie nie ma bowiem znaczenia dla SC. ]

Oczywiście, musi ona być liczbą pierwszą, a więc jeśli pominiemy wszystkie liczby 4-cyfrowe, zaczynające się od „2” (aby liczba była większa od 2777 musiałoby w niej wystąpić „8” albo „9”, co wyklucza ją z grona LPD) i przejdziemy do liczb zaczynających się od „3”, zauważymy, że granicę naszych poszukiwań wyznaczą liczby, których zapis składa się z „2”, „3”, „3”, „3” (w dowolnej kolejności, z tym, że „2” nie może oczywiście pojawić się na końcu). Odrzucamy w tym przypadku możliwość wystąpienia trzech „2”, jako że liczba musiałaby być parzysta.
SC wynosi w przypadku takich liczb 11 (żadna liczba o takiej strukturze nie może być LPD), jednak wiemy już, że możemy szukać LPD(4) o mniejszej SC (oprócz 2 i 3 – co oczywiste – odpada także 5 i 7). Wniosek: szukamy liczby o SC=23 (223 możemy z góry odrzucić, ponieważ SC(9,9,9,9), największej liczby czterocyfrowej wynosi tylko 28).
Innymi słowy, szukamy liczby, której zapis będzie stanowił czteroelementową kombinację z powtórzeniami cyfr „2”,”3”,”7”, spełniającej warunek „2”(1) bądź „2”(3), o SC=23, i będącej liczbą pierwszą.
Czy znajdziemy naszą LPD wśród liczb 4-cyfrowych, zaczynających się od „3”, a ściślej – zawierających w zapisie „3”, na którymkolwiek miejscu?
Jak już zaznaczaliśmy nie może być tu mowy o spełnieniu warunku „2”(3), wiemy więc, że możemy brać pod uwagę jedynie warunek „2”(1). Jeśli liczba ma zawierać „3” i jeśli już wiemy, że musi w niej wystąpić „2”, to aby SC=23 suma pozostałych dwóch cyfr musi być równa 18. Nie uzyskamy takiej sumy nawet dodając do siebie dwie 7 (największe liczby, jakie mamy do dyspozycji).
Wiemy już, że nie LPD(4), zawierającej jednocześnie „3” i „2”, a ponieważ „2” jest tu konieczne, możemy uznać, że nie istnieje LPD(4), zawierająca „3”.
Sprawdźmy, jak mają się sprawy z parą cyfr „5” i „2”. Ponownie, nawet jeśli dopiszemy do niej dwie „7”, SC będzie za mała. Pozostała nam więc tylko jedna możliwość: para „7” i „2” i ona stanowi rozwiązanie. Wśród wszystkich liczb 4-cyfrowych jedynie kombinacja „7”(3) i „2”(1) daje SC=23.
Ponieważ „2” nie może znaleźć się na końcu sekwencji, musimy sprawdzić jedynie następujące liczby:
2777 (tę już znamy)
7277 (dzieli się przez 19)
7727 – liczba pierwsza, a więc poszukiwane LPD(4)!

Tworzymy procedurę

Zreasumujmy nasze rozważania.

a) LPD(2)

Aby liczba była LPD, musi – oprócz spełniania innych warunków – mieć sumę cyfr równą 2,3,5,7, 23, 223, 2777, 7727 etc. (czyli sumę cyfr która wyraża się jedną cyfrą, reprezentującą liczbę pierwszą albo sumę cyfr, która jest także LPD).
Sumy 2 i 3 nie mogą tu wystąpić, bo w liczbie musiałaby występować „1”, więc nie byłaby ona LPD. Wobec faktu, że w LPD(2) musi być spełniony warunek „2”(1), jedyną możliwą kombinacją dwóch cyfr, reprezentujących liczby pierwsze, o SC= 5 będzie 23. Suma 7 nie pojawi się, bo jedyna dwuelementowa kombinacja, jaka ją daje to 5 i 2, które razem nie mogą dać liczby pierwszej (liczba ta musiałaby się kończyć na „2” albo „5”). Ponieważ największa możliwa SC w przypadku L(2) to 18, nie znajdziemy wśród tych liczb żadnej o SC= 23.

b) LPD(3)

Wychodzimy – podobnie jak w poprzednim przypadku – od SC. Ponieważ największa SC w przypadku L(3) to 27, a najmniejsza 3, możemy od razu odrzucić sumy cyfr większe niż 23 oraz 3 i 2.
Czy może istnieć wśród liczb 3-cyfrowych LPD o SC= 5? Rozważmy dwie możliwości: liczby spełniające warunek „2”(2) albo „2”(0). Znana nam już kombinacja „2”, „2”, „3” (złożona z najmniejszych, możliwych w przypadku LPD elementów) daje SC=7, jest więc jasne, że o SC=5 nie może być w tym przypadku mowy.
Ponieważ powyższa kombinacja nie może być ułożona w żadnej innej kolejności, by dać LPD (na końcu musiałaby się znaleźć jedna z „2”), możemy przejść do SC=23.
Od razu odrzucamy ewentualność „2”(2), bo SC(2,2,9)=13. W przypadku, gdy uwzględnimy warunek „2”(0), kombinacją o największej SC będzie „7”, „7”, „7” o SC=21. Nie ma więc LPD(3) o sumie 23.

c) LPD4

Ponownie badamy sumy cyfr.
Czteroelementową kombinacja dająca najmniejszą SC (której zapis składa się z cyfr oznaczających liczby pierwsze) to 2222, możemy więc odrzucić od razu sumy 2, 3,5 i 7.
Największa SC to w tym wypadku 36 – pozostaje nam więc jedynie 23.
Ponieważ możemy od razu odrzucić możliwość „2”(3), pozostaje „2”(1) i suma pozostałych cyfr równa 21, co mogą nam dać jedynie trzy „7”. Ten przypadek rozważyliśmy już wcześniej.

Ciąg LPD

Ciąg LPD jaki dotychczas otrzymaliśmy to: 23, 223, 2777, 7277. Zwróćmy uwagę na sumy cyfr:
23 (2+3=5)
223 (2+2+3=7)
2777 (2+7+7+7=23)
7277 (7+2+7+7=23)
W ostatnich dwóch przypadkach, sumą cyfr jest także LPD(!), co oznacza, że suma cyfr sumy cyfr rozważanej LPD będzie liczbą pierwszą.
2777 (2+7+7+7=23), 23=5
7277 (7+2+7+7=23), 23=5

Mamy więc do czynienia z LPD 2-go stopnia!

Algorytm na podstawie poszukiwania LPD(5)

1. SC w przypadku liczb 5-cyfrowych:

SC=2,3,5,7 są wykluczone, ponieważ SC(2,2,2,2,2)=10
SC=23 – możliwa
SC=223 – wykluczona, ponieważ SC(9,9,9,9,9)= 45

2. Struktura LPD

LPD(5) musi spełniać jeden z warunków:

„2”(0”)
„2”(2)
„2”(4)

3. Badanie SC LPD(5) w kontekście struktury

„2”(4) – wykluczone, jako że SC(2,2,2,2,9)= 17
„2”(2) – możliwe
„2”(0) - możliwe

Rozpatrzmy wersję „2”(2). Suma pozostałych cyfr powinna dać nam 19 (23-4=19). Jaka kombinacja liczb 3,5,7 daje 19? – tylko „5”, „7”, „7”.
Możliwe liczby uzyskane z takiej kombinacji to:
(odrzucamy oczywiście wszystkie kombinacje kończące się na „2” oraz „5”)
22577
22757
25277
25727
52277
52727
57227
72257
72527
75227
Mamy więc do zbadania zaledwie 10 liczb. Szybko odkryjemy dwie LPD(5): 52727 i 75227.

Rozpatrzmy wersję „2”(0), a więc liczby, których zapis składa się tylko z cyfr „3”, „5” i „7”. Nie możemy powtórzy trzykrotnie „3”, bo SC = 14 albo 16 (3x3=9, 9+5=14, 9+7=16). Podobnie niezadowalające jest trzykrotne powtórzenie „5” (SC =18 albo 22) i „7” (SC= 24 albo 26).
Powtórzmy dwukrotnie „3” oraz „5”, a otrzymamy SC = 23 i to jest nasza jedyna możliwość, bo dwukrotne powtórzenie „3” i „7”, a także „7” i „5” dadzą odpowiednio: SC= 25 oraz 27.
Nasze kandydatki na LPD(5) to (po odrzuceniu liczb, w których zapisie ostatnią cyfrą jest „5”):
33557
53357
53537
53573
55337
55373
55733
57353
57533
73553
75353
75533
Dwanaście możliwości i aż 6 LPD!

Ciąg LPD w przedziale 1-99999 (pierwsze 12 LPD):

23 (pierwsza liczba pierwsza doskonała, jedyna dwucyfrowa)
223 (druga liczba pierwsza doskonała, jedyna trzycyfrowa)
2777 (trzecia liczba pierwsza doskonała, pierwsza 2-go stopnia)
7277
52727
55337
55373
55733
73553
75227
75353
75533

Występowanie LPD

Poszukiwanie LPD(6) etc. pozostawmy na długie zimowe wieczory. Czy na podstawie naszej wiedzy możemy powiedzieć coś jeszcze o występowaniu tego rodzaju liczb?
Zadajmy na początku pytanie, do jakiego momentu będziemy skazani na szukanie liczb, których SC=23? Innymi słowy, w jakim miejscu ciągu liczb naturalnych pojawi się pierwsza LPD 3-go stopnia, której SC=223?
Rozpatrując przypadek liczby, której zapis składa się z samych tylko „7” (a więc największą z mogących wystąpić w zapisie cyfr), zauważymy, że dopiero L(32) da nam SC=224. Jak łatwo wywnioskować, wśród L(32) nie może być żadnej LPD. Możemy jej szukać dopiero wśród L(33).
Przyjrzyjmy się dla odmiany L(23). Jeśli stworzymy taką liczbę złożoną z samych „2” (najmniejsza cyfra, jaką mamy do dyspozycji), uzyskamy SC=46, a L(23) złożona z samych „7” da nam SC=161. Nie znajdziemy żadnej LPD wśród L(23). Łatwo wywnioskujemy, że LPD nie znajdziemy także wśród L(22), L(21) etc. aż do L(12), której SC (jeśli wykorzystamy same „2”) będzie się równało 24.
Możemy więc sformułować następujące twierdzenie: w przedziale L(12) – L(32) nie występuje ani jedna LPD.
W przypadku LPD(11), będziemy mieli do zbadania jedną i tylko jedną liczbę, zapisaną w postaci [„2”(10), „3”(1)] – oczywiście z trójką na końcu (22222222223).
W przypadku L(10) musimy odrzucić liczby o strukturach:
- [„2”(10)] – czyli 2222222222 (liczba parzysta, parzysta liczba dwójek)
- [2”(9), ”5”(1)] – czyli 2222222225 (i wszystkie jej kombinacje, bo zawsze na końcu znajdzie się „2” albo „5”)
- [„2”(] – parzysta liczba dwójek (brakujące 7 rozłożone na dwa miejsca mogłoby przyjąć tylko postać „5”, „2”, a więc uzyskalibyśmy identyczną strukturę jak w przypadku [„2”(9), „5”(1)]).
Kandydatki na LPD pojawią się dopiero, gdy rozpatrzymy strukturę „2”(7) „3”(3).

Przypatrzmy się uważniej występowaniu LPD w liczbach o różnej liczbie cyfr:

[ Dla ułatwienia będę stosował zapis w postaci: SC[L(x)]=[y, z] co oznacza, że suma cyfr liczby o określonej liczbie cyfr zawiera się w przedziale od y do z, gdzie liczba y odpowiada SC dla liczby złożonej z samych „2”, a z – SC dla liczby złożonej z samych „7”.]

L(1) – SC – nie istnieje – ilość LPD=0
SC[L(2)]=[4, 18] – możliwe SC[LPD]: 5, 7
SC[L(3)]=[6, 21] - możliwe SC[LPD]: 7
SC[L(4)]=[8, 28] - możliwe SC[LPD]: 23
SC[L(5)]=[10, 35] - możliwe SC[LPD]: 23
SC[L(6)]=[12, 42] - możliwe SC[LPD]: 23
SC[L(7)]=[14, 49] - możliwe SC[LPD]: 23
SC[L(]=[16, 56] - możliwe SC[LPD]: 23
SC[L(9)]=[18, 63] - możliwe SC[LPD]: 23
SC[L(10)]=[20, 70] - możliwe SC[LPD]: 23
SC[L(11)]=[22, 77] - możliwe SC[LPD]: 23 (do zbadania tylko jedna liczba 22222222223)
SC[L(12)]=[24, 84] - możliwe SC[LPD]: brak
… brak
SC[L(32)]=[64, 224] - możliwe SC[LPD]: brak
SC[L(33)]=[66, 321] - możliwe SC[LPD]: 223
SC[L(34)]=[68, 238] - możliwe SC[LPD]: 223
…223
SC[L(111)]=[222, 777] - możliwe SC[LPD]: 223 (do zbadania tylko jedna liczba, o strukturze [„2”(110), „3”(1)]
SC[L(112)]=[224, 784] - możliwe SC[LPD]: brak
…brak
… aż do LPD o SC=2777
Jak łatwo policzyć:
2777:2=1388,5 a więc pierwszą kandydatką będzie liczba złożona z 1387 dwójek (czyli w naszym zapisie „2”(1388) i trójki – „3”(1), przy czym oczywiście trójka będzie występowała na końcu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2009, o 16:22 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
:O
Udało mi się przeczytać całe, lecz nie będę nic oceniał, bo po prostu się nie znam :)
Powiem tylko tyle - wielki szacunek dla Ciebie! Podziwiam takich ludzi, jak Ty :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2009, o 16:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Rozkmina warta podziwu, ale odpowiadając na Twoje pytania - mnie osobiście nic nie wiadomo, by ktoś zajmował się takimi liczbami. Kolejne o co pytałeś, to czy to się może przydać jakoś, na przykład do szukania dużych liczb pierwszych. Według mnie nieszczególnie, bo żadnego pewnego sposobu nie podałeś, jedynie liczenie na palcach. W tym momencie ciężko mi powiedzieć, czy da się to ubrać w coś bardziej sztywnego i przewidywalnego, musiałbym sam myśleć o tym dużo, a nie mam czasu.
Problem jednak jest jeden malutki - rozkład, własności, ewentualne szukanie liczb pierwszych nie powinno mieć nic wspólnego z ich cyframi w zapisie dziesiętnym z tego prostego powodu, że to tylko jest umowa - można równie dobrze liczyć w systemie szesnastkowym, dwójkowym, piątkowym i cała Twoja misternie definiowana "doskonałość" padnie, bo inne liczby zaczną być doskonałe, a znalezione przez Ciebie w dziesiątkowym przestaną nimi być.
Ja wiem, że zapis cyfrowy niektórych liczb pierwszych w systemie dziesiątkowym potrafi budzić zachwyt i podobne emocje, ale popatrzeć wystarczy na liczby Fermata lub Mersenne'a w systemie dwójkowym.
Te pierwsze to jedynka na początku i końcu a w środku same zera. Te drugie to z kolei same jedynki odpowiedniej długości.
Nikt jednak badając ich własności nie patrzył na to, bo prawdopodobnie niewiele by to dało w badaniu ich pierwszości, nie zostałyby stworzone pośrednie testy badania, przy pomocy twierdzeń i własności.
Także fajne jest to, co piszesz, ale jako droga błyskotka.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2009, o 17:26 
Użytkownik

Posty: 2
:) Dzięki wielkie zaainteresowanie. Zdaje sobie sprawę, że suma cyfr, jako własność zapisu a nie samej liczby jest ... mało ciekawa... ale cóż... humanista nie ma wyboru - bierze to, co rozumie :). Jeśli chodzi o szukanie dużych liczb pierwszych, miałem na myśli to, że zastosowanie opisanego spoosobu myślenia może ograniczyć pole poszukiwań. Na przykład, gdybyśmy szukali liczby pierwszej miliard-cyfrowej, i nie zależałoby nam, jaka to ma być konkretnie liczba, byle tylko była pierwsza i miała w zapisie miliard cyfr albo więcej, możemy "automatem" stworzyć kilka kandydatek o specyficznych,co prawda własnościach (LPD) i badać wyłacznie te liczby - żadnych pozostałych. WYstarczy wziąć pod uwagę parę rzędów wielkości i mamy pewność (humanistyczną pewność :), wywiedzioną z doświadczenia ), że coś się znajdzie... To daje chyba jeszcze parę innych możliwości ale nie jestem pewny... :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2009, o 18:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Ta "humanistyczna" pewność niestety rzadko się przekłada na matematykę - Pierre de Fermat też był pewny, że liczby nazwane jego nazwiskiem są wszystkie pierwsze, a tu guzik ;p. Był prawnikiem : P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2009, o 22:07 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Ale jego hipoteza nie była potwierdzona przez około 300 lat (?)
Więc może i Twoje rozmyślania za 300 lat doczekają się jakiegoś zastosowania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lut 2009, o 13:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Śmiem twierdzić, że to przypadek. On wypowiedział wiele twierdzeń, które myślał, że umie dowieść, bo wydawały się mu oczywiste i dużo z nich poszło dość szybko, gdy wpadły w łapki Leonarda Eulera i dziś większość student drugiego roku też by potrafił dowieść.
Natomiast z twierdzeniem o którym mówisz, akurat było inaczej. I o ile inne jego "hipotezy" tyczyły się dość "praktycznych" zagadnień (małe twierdzenie, tw o rozkładzie liczb pierwszych na sumę kwadratów itp), to FLT było wypowiedziane bardziej jako ciekawostka.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trzy kolejne liczby.  Roman1  5
 podzielność liczby sześciocyfrowej przez 7  LySy007  4
 Na jakie liczby należy podzielić 32 aby stos. wynosił 3:5  Orzech  2
 cecha podzielności liczby 24  Wrangler  5
 Wymierność Liczby - zadanie 3  albert107  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl