szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lut 2009, o 19:23 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Kosina
rozwiąż nierówność:

\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... + \frac{1}{x^{13}} \leq \frac{7}{x^7}

prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku!! DZIĘKUJE!!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lut 2009, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 520
Lokalizacja: Warszawa
Mnożymy nierówność przez x^{13} i otrzymujemy:
x^{12}+x^{10}+x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1 \le 7x^{6}
Po przeniesieniu na jedną stronę i podstawieniu t=x^{2} otrzymujemy:
t^{6}+t^{5}+t^{4}-6t^{3}+t^{2}+t+1 \le 0
Teraz zauważ że jednym z pierwiastków równania jest t=1. Więc możesz podzielić korzystając ze schematu Hornera. Po wykonaniu dzielenia otrzymasz:
(t^{5}+2t^{4}+3t^{3}-3t^{2}-2t-1)(t-1)
Ponownie możemy podzielić przez t-1 otrzymując:
1^\circ} (t^{4}+3t^{3}+6t^{2}+3t+1)(t-1)^{2}  \le 0
Teraz zajmijmy się tym wyrażeniem w pierwszym nawiasie. Sprawdźmy jakie są rozwiązania równania:
t^{4}+3t^{3}+6t^{2}+3t+1=0
Jest to równanie zwrotne. Rozwiązujemy je dzieląc przez t^{2}, czyli mamy :
t^{2}+3t+6+\frac{3}{t}+\frac{1}{t^{2}}=0
Teraz grupujemy:
t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+3(t+\frac{1}{t})+6=0
Teraz w pierwszym nawiasie stosujemy wzór a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab :
(t+\frac{1}{t})^{2}-2+3(t+\frac{1}{t})+6=0
Teraz robimy podstawienie p=t+\frac{1}{t}:
p^{2}+3p+4=0
A to nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Ostatnia nierówność dowodzi że czynnik t^{4}+3t^{3}+6t^{2}+3t+1 jest zawsze dodatni. Więc rozwiązaniem nierówności 1^{\circ} jest t=1 więc rozwiązaniem naszej początkowej nierówności jest zbiór x=-1  \vee  x=1. Uff :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiaz nierownosc  jackass  3
 Rozwiąż nierówność - zadanie 8  ŚwIeRsZcZ  5
 Rozwiąż nierówność - zadanie 12  chronic92  1
 rozwiąż nierówność - zadanie 13  kicia_pl  2
 rozwiąż nierówność - zadanie 16  kazekek  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl