szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2009, o 17:56 
Użytkownik

Posty: 123
Lokalizacja: Kraków
Funkcja jest określona wzorem: f(x)= \frac{2x}{x^{2}+1}

a) Wykaż, że funkcja f nie przyjmuje wart. większych od 1 ( to wykazałem)
b) Wykaż, że jeśli a>b \ge 1, to f(a)<f(b)

Nie jestem pewien co do podpunktu b więc proszę o pomoc fachowców :) Napisałem też pkt a) bo może sie przydać w rozwiązywaniu b)

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2009, o 18:03 
Użytkownik

Posty: 1994
w b chodzi tylko o wyznaczenie monotonicznosci
f(x)= \frac{2x}{x^{2}+1}
f'(x)=  \frac{2(x^2+1)-2x(2x)}{(x^{2}+1)^2}
f'(x)=  \frac{2x^2 + 2-4x^2}{(x^{2}+1)^2}
f'(x)=  \frac{2(1-x^2)}{(x^{2}+1)^2}
widzimy że dla x>1 fukcja jest malejaca poniewaz pochodna jest ujemna
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2009, o 19:33 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Wiem, że rachunek różniczkowy jest bardzo wygodny, ale niestety większość uczniów go nie zna i szczerze wątpię, żeby takie rozwiązanie dawało coś autorowi zadania. Wydaje mi się, że gdyby autor chciał użyć pochodnej, to zaznaczyłby to w treści postu. Mam nadzieję blost, że nie potraktujesz tego jako afront czy coś podobnego, bo to nie było moją intencją :)

Wracając do zadania
Określmy znak wyrażenia
f(a)-f(b)
gdzie
a>b \ge 1

f(a)-f(b)=\frac{2a}{a^2+1}-\frac{2b}{b^2+1}=\frac{2ab^2+2a-2a^2b-2b}{(a^2+1)(b^2+1)}=\frac{2(b-a)(ab-1)}{(a^2+1)(b^2+1)}

Ale ponieważ a>1 \quad b>1, więc ab-1 > 0, czyli otrzymujemy

a>b \ge 1 \quad  \Rightarrow \quad f(a)-f(b)< 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2009, o 21:32 
Użytkownik

Posty: 1994
nie no loozik :D wlasciwie to pewno przez to ze zadania z pochodnych rozwiazuje to nie bede mial zbyt dobrej oceny ze sprawdzianu... nie rozumiem dlaczego nauczycielka nie uznaje tej metody skoro jest 100 razy latwiejsza a zreszta watpie bym kiedys musial wyprowadzac monotonicznosc z definicji :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.  Anja  4
 Badanie różnowartościowości funkcji.  Anonymous  1
 Badanie parzystości funkcji.  jackass  5
 Funkcja wymierna - nierówności.  Gambit  4
 Wyznaczanie asymptot funkcji f(x)=sqrt(x^2+x+1)-1-(1/x)  bartekf  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl