szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 mar 2009, o 20:07 
Użytkownik

Posty: 305
1.Wykaż , że dla każdej liczby naturalnej n liczba n^5-n jest podzielna przez 30

2. Wykaż że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3 to p^2-1 jest liczbą podzielną przez 24.


1.dochodzę do postaci

(n-1)n(n+1)(n^2+1)

i teraz wystarczy napisać komentarz że przy podstawieniu dowolnej liczby naturalnej suma która wyjdzie jest podzielna przez 5??? czy coś jeszcze trzeba napisać??
to zadanie jest na dowód więc chyba musi być inna odpowiedź


2.dochodzę do postaci

\frac{(p-1)(p+1)}{24}=0

24=p^2-1

25=p^2

p=-5

p=5

i zgadza sięz założeniem że p>3 więc dobrze zrobiłem? jaki komentarz od tego ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 mar 2009, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 1274
1. Nie, to nie wystarcza.

Wśród liczb n-1,\ n,\ n+1 jest dokładnie jedna podzielna przez 3 i co najmniej jedna podzielna przez 2, stąd 6|(n-1)n(n+1).

Jeżeli n w dzieleniu przez 5 daje resztę 0,\ 1,\ -1, to jedna z liczb n-1,\ n,\ n+1 jest podzielna przez 5 i zadanie jest rozwiązane. Jeżeli zaś nie, to n=5k\pm 2 - w tym przypadku 5|n^2+1.

2. To jest całkowicie źle.

Ponieważ p>2 i p\in\mathbb{P}, więc jest nieparzyste. Stąd p^2-1 jest parzyste. Ponadto jedna z liczb p-1,\ p+1 jest podzielna przez 2 (ale nie przez 4), więc druga jest podzielna przez 4. Stąd 8|(p-1)(p+1).

Ponieważ p>3 i p\in\mathbb{P}, więc 3\nmid p, stąd 3|p^2-1, bo kwadraty liczb niepodzielnych przez 3 w dzieleniu przez 3 dają resztę 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2009, o 20:03 
Użytkownik

Posty: 305
nie rozumiem twojego zapisu do 2 zadania.

mógłby ktoś napisać to tak żebym zrozumiał ? :oops:
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 mar 2009, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 1274
karol123 napisał(a):
nie rozumiem twojego zapisu do 2 zadania[...]

Czego konkretnie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2009, o 20:48 
Użytkownik

Posty: 305
nie rozumiem tych kresek |

rozumiem do słowa ponadto..
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 mar 2009, o 21:29 
Użytkownik

Posty: 1274
a|b - "a dzieli b"

Ponieważ p jest nieparzyste, to p-1 oraz p+1 są dwiema kolejnymi liczbami parzystymi. Ponieważ p>4, to można je zapisać w postaci 4k\pm 1,\ k\in\mathbb{N} - widać, że np. jeżeli p=4k+1, to p-1=(4k+1)-1=4k\ \Rightarrow\ 4|p-1 oraz p+1=(4k+1)+1=4k+2=2(2k+1)\ \Rightarrow\ 2|p+1. Jeżeli zaś p=4k-1, to jest na odwrót.

Ponieważ p jest pierwsze i p>3, to nie ma innych dzielników prócz siebie i jedynki - w szczególności trójka nie jest dzielnikiem p. Można więc przedstawić p jako 3k\pm 1. I teraz jeżeli np. p=3k+1, to p^2-1=(3k+1)^2-1=9k^2+6k+1-1=3\left(3k^2+2k\right)\ \Rightarrow\ 3|p^2-1. Jeżeli zaś p=3k-1 - to analogicznie...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 liczba a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3  krzysiu184  3
 Liczby nie podzielne przez 4 ani 7  boleczek  5
 Podzielność liczby przez 24.  pawlo392  5
 Podzielność i liczby pierwsze  r0xt4r  4
 Podzielność przez 99 - zadanie 2  ania0  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl