szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sty 2006, o 12:58 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Warszawa
Mam do wyznaczenia ekstrema funkcji:

a)w=u^{3}-6u^{2}+9u-2
b)y=x^{2}e^{-x^{2}}

Kto pomoże? :mrgreen:
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sty 2006, o 15:45 
Użytkownik

Posty: 946
Lokalizacja: Wrocław
a) w^' = 3u^2-12u+9
w' = 0 -> u^2-4u+3 = (u-2)^2 - 1 = 0\ to\ u-2 = ^+_-1
czyli: u = 2 + 1 = 3 lub u = 2 - 1 = 1

w'' = 6u-12
w''(3) = 18-12 = 6 > 0 -> minimum lokalne równe: w(3) = 27-54+27-2 = -2
w''(1) = 6-12 = -6 < 0 -> maksimum: w(1) = 1-6+9-2 = 2

b)
y^' = 2xe^{-x^2}+x^2(-2xe^{-x^2}) = 2x(1 - x^2)e^{-x^2}
y' = 0 -> x = 0 lub x = 1 lub x = -1

y(x=0) = 0 i y(x <> 0) > 0 zatem: dla x = 0 jest minimum oraz dla x = -1 i x = 1 jest maksimum
(funkcja jest ciągła, a wtedy dwa minima/maksima nie mogą sąsiadować):
y_{max} = \frac{1}{e}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2006, o 14:44 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Warszawa
Kurcze, nie za bardzo to kumam, :( mógłbys mi to bardziej wyjasnic, tak krok po kroku?

BTW w przykaldzie a) zamiast 'x' powinno byc 'u' :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sty 2006, o 23:10 
Użytkownik

Posty: 946
Lokalizacja: Wrocław
1. Liczysz pochodną
2. Przyrównujesz pochodną do zera i rozwiązujesz równanie: f'(x) = 0, otrzymujesz wartości x, dla których f może mieć ekstrema.
3. Liczysz drugą pochodną i sprawdzasz jej znak dla wartości x, obliczonych w 2.:
f'' > 0 -> jest minimum, f'' < 0 -> maksimum, f'' = 0 - nie rozstrzyga... i wtedy:
liczysz kolejne pochodne: f^k, aż do pierwszej różnej od zera (w rozpatrywanym punkcie),
wtedy: k - parzyste jest ekstremum, k - nieparzyste - brak.
przykład:
y = x^3,
y' = 3x^2
3x^2 = 0\ \to\ x = 0
y'' = 6x, y''(x=0) = 0 -> liczymy trzecią pochodną:
y''' = 6 <> 0 i k = 3 - nieparzyste -> brak ekstremum.


Niekiedy wszystkie pochodne się zerują w danym punkcie, i nic to nie daje...
ale jest przecież definicja ekstremum a ona zawsze rozstrzyga...
przykład:
\Large  f(x) = e^{-\frac{1}{x^2}}
pochodna dowolnie wysokiego rzędu jest równa zeru!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2006, o 19:15 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Warszawa
Wielkie Dzieki za pomoc :wink:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ekstrema funkcji  the moon  1
 Ekstrema funkcji - zadanie 2  michal_inf  1
 ekstrema funkcji - zadanie 4  Fijy  6
 ekstrema funkcji - zadanie 5  iwetta  1
 Ekstrema funkcji - zadanie 6  mark3486  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl