szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2009, o 21:17 
Użytkownik

Posty: 93
Udowodnić że różnica kwadratów dwóch liczb nieparzystych jest podzielna przez 8.

Z góry dzięki za rozwiązanie :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2009, o 21:29 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
n,m \in \mathbb{Z}
(2n+1)^{2}-(2m+1)^{2}=4n^{2}+4n+1-4m^{2}-4m-1=4(n^{2}-m^{2})+4(n-m)=4[(n^{2}-m^{2})+(n-m)]
Pozostaje do wykazania, że 2|(n^{2}-m^{2})+(n-m), czyli wykazanie parzystości tego wyrażenia
Rozważmy trzy przypadki
1^{o}
n,m \in np \Rightarrow n^{2}\in np \wedge m^{2} \in np \Rightarrow n^{2}-m^{2}\in p \wedge n-m\in p \Rightarrow (n^{2}-m^{2})+(n-m)\in p

2^{o}
n,m \in p \Rightarrow n^{2}\in p \wedge m^{2} \in p \Rightarrow n^{2}-m^{2}\in p \wedge n-m\in p \Rightarrow (n^{2}-m^{2})+(n-m)\in p

3^{o}
n\in np \wedge m\in p \Rightarrow n^{2}\in np \wedge m^{2} \in p \Rightarrow n^{2}-m^{2}\in np \wedge n-m\in np \Rightarrow (n^{2}-m^{2})+(n-m)\in p

np-liczba nieparzysta
p-liczba parzysta
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2009, o 21:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
Nakahed90 napisał(a):
Pozostaje do wykazania, że 2|(n^{2}-m^{2})+(n-m), czyli wykazanie parzystości tego wyrażenia
(n^{2}-m^{2})+(n-m)=n(n+1)-m(m+1), ale iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 2 (chyba nie muszę mówić czemu), więc mamy żądaną podzielność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2009, o 21:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
Racja Sylwek, trochę na około zrobiłem, a można było prościej.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 10:05 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: PL
Udowodnić że różnica kwadratów dwóch liczb nieparzystych jest podzielna przez 8.

(2n+3) ^{2} - (2n+1) ^{2}  = (2n + 3 - 2n - 1)(2n + 3 + 2n + 1)= 2(4n+4)=8(n+1) c.n.u
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 10:59 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7481
Lokalizacja: Wrocław
goszko-goszka, to nie jest przypadek ogólny, bo bada tylko różnicę kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 2 zadania zamknięte z podzielności liczb  Micha?12345  3
 Wykaż że różnica  adel  3
 podzielnosc liczb?  Anonymous  3
 Ile liczb naturalnych mniejszych od 1000...  Vl'ka  3
 Uzasadnij, że różnica kwadratu..  kakla1995  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl