szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 14:09 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: Wałbrzych
Liczba naturalna a podzielona przez 3 daje resztę 1, a podzielona przez 5 - resztę 4. Jaką resztę da liczba a podzielona przez 15?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 14:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
\begin{cases} a\equiv 1 (mod3) \\ a\equiv 4(mod5) \end{cases}
\begin{cases} 5a\equiv 5 (mod15) \\ 3a\equiv 12(mod15) \end{cases}
2a\equiv -7\equiv 8 (mod15)
a\equiv 4(mod15)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 15:50 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: Wałbrzych
Dzięki za odpowiedź. Przyznaję bez bicia, że pojęcia kongruencji wcześniej nie znałem, dlatego też do odczytania Twojego zapisu musiałem posłużyć się wikipedią. Pierwszą część zapisu zrozumiałem, aż do przedostatniej linijki. Mianowicie nie wiem skąd wzięła się tam ta 8. Z góry dzięki za wyjaśnienie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 16:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
2a \equiv -7 \equiv 15-7 \equiv 8 (mod15)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 16:26 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: Wałbrzych
Dalej nie rozumiem. Z tego co wywnioskowałem z Wikipedii, zapis -7 \equiv 8 (mod15) oznacza, że liczby -7 i 8 przy dzieleniu przez 15 dają tę samą resztę. A reszta z dzielenia -7:15 to -7, bo -7 = 0 * 15 -7, a reszta z dzielenia 8:15 to 8, bo 8 = 0 * 15 + 8
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 16:35 
Użytkownik

Posty: 268
W tym przypadku nie tak się to interpretuje, bo ogólnie cała liczba jest dodatnia, to że daje resztę -7 oznacza że jest równa 15*coś - 7= 15*(coś-1) +15 -7=
=15(coś-1) + 8, a więc daje resztę 8 bo 15-7=8.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 16:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
Ten zapis oznacza, że -7 daje resztę 8, oraz, że dwa 2a daje przy dzieleniu przez 15 resztę -7, a co za tym idzie resztę 8.
Jeżeli liczba przydzielenie przez n daje resztę -k to daje także resztę n-k.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2009, o 16:40 
Użytkownik

Posty: 268
Zresztą -7 daje resztę 8 przy dzieleniu przez 15, bo jeśli liczba c daje resztę r przy dzieleniu przez k to
liczba c-r dzieli się przez k no nie? Niech c=-7 , r=8, k=15, -7-8=-15 a to daje resztę 0, czyli się zgadza także dla ujemnych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2009, o 10:22 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Krakóf
a=3k+1
a=5l+4
czyli:

3k+1=5l+4
3k=5l+3
3k=3l + 2l +3
3k=3l +(2l+3)

Lewa strona dzieli się przez 3 , i wiadomo że lewa strona równa się prawej, zatem żeby prawa stronaa=5l+3 dzieliła się przez 3 2l+3 musi dzielić się przez 3
Czyli:

2l+3=3   ---> l=0
2l+3=6   ---> nie ma rozwizania
2l+3=9   ---> l=3
2l+3=12   ---> nie ma rozwiazania
2l+3=15   ---> l=6

Czyli ogólna postać l jest taka l=3p

Wracając do tresci zadania

a=5l+4=5(3p)+4=15p+4
Zatem reszta jest rowna 4

Teraz chyba wszystko jasne :mrgreen:

Jeżeli nie to masz jeszcze bardziej elementarne rozwiązanie na poziomie podstawowa/gimnazujm
a=3k+1  /*5
a=5l+4   /*3
______
5a=15k+5
3a=15l+12 odejmij stronami
---------
2a=15(k-l-1)+8=15m+8
______
3a=15l+12
2a=15m+8 odejmij stronami
_______
a=15(l-m)+8=15z+4
czyli reszta jest 4
------
Ogólnie żeby zrobić takie zadanie , żeby ona miało sens , to dzielniki liczby a muszą być względnie pierwsze

ps; Ma się to podejście pedagogiczne :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dzielenie z resztą - zadanie 7  xXMadzia05Xx  1
 Dzielenie z resztą - zadanie 2  Kwiatek29  1
 Dzielenie z resztą - zadanie 6  ania91  3
 Dzielenie z resztą - zadanie 15  starmed  1
 dzielenie z resztą  gresieq  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl