szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 18:45 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Szarlejka/Częstochowa
Witam, mam problem z poniższym zadaniem:

"Uzasadnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba p^{4} - 1 jest podzielna przez 240"

Doszedłem do tego:
p^{4}-1=(p^{2}+1)(p^{2}-1)=(p^{2}+1)(p+1)(p-1)

ale nie wiem co dalej, może ktoś pomoże ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 19:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 374
Lokalizacja: Legnica
p+1 i p-1 to liczby parzyste więc ich iloczyn jest podzielny przez 4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 19:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
ponieważ 240=3*5*16 wystarczy uzasadnić, że dana liczba jest podzielna przez 3, 5 i 16. zrobię to chałupniczo, ale trudno... po kolei: ponieważ p jest pierwsza i większa od 3, przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 lub 2. w pierwszym przypadku p-1 dzieli się przez 3, w drugim p+1. czyli jest podzielna przez 3. ponieważ p jest większa od 5 przy dzieleniu przez 5 daje reszty 1, 2, 3 lub 4. w pierwszym przypadku p-1 dzieli się przez 5, w czwartym p+1 dzieli się przez 5. łatwo sprawdzić, że w drugim i 3 przez 5 dzieli się p^2+1. teraz: p^2+1 jest parzyste. p-1 i p+1 są kolejnymi parzystymi, więc jedna z nich dzieli się przez 4, a druga przez 2. zatem iloczyn (p^2+1)(p-1)(p+1) dzieli się przez 16.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 19:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
Rozłóż sobie 240 na czynniki:
240=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5=16 \cdot 3 cdot 5
Wystarczy udowodnić, ze któryś z czynników jest podzielny przez jedną z liczb.

Skoro p jest nieparzyste to p-1 i p+1 są parzyste, ponadto jedna z nich dzieli sie przez 4.
Również p^{2}+1 jest parzyste i dzieli się przez 2.
Dalej p-1; p; p+1; Są to trzy kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich napewno dzieli się przez 3. Ponadto p jest pierwsza i większa od 5 wię p-1 lub p+1 dzieli sie przez 3.
Została jeszcze 5:
Jeśli liczba jest postaci p=5k+1 to p-1 dzleli się przez 5;
p=5k+2 \Rightarrow 5|p^{2}+1
p=5k+3 \Rightarrow 5|p^{2}+1
p=5k+4 \Rightarrow 5|p+1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 19:47 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Szarlejka/Częstochowa
Dziękuję ze wszystkie odpowiedzi do mojego pytania.
A teraz jak to zapisać w postaci odpowiedzi, żeby nie było to pokręcone i zrozumiałe dla "laika matematycznego" ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 19:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
Mniej więcej jak w postach powyżej. Nic więcej raczej nie wymyślisz, no chyba, że z kongrugencji chcesz. Tam masz:
\phi(5)=4 \wedge NWD_{p,5}=1 \Rightarrow p^{4}-1 \equiv 0 \ (mod \ 5)
Podobnie zrobisz dla 3 i 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2009, o 20:30 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Szarlejka/Częstochowa
Artist mógłbyś mi to zapisać również dla 3 i 2 ? Bo ja nie znam kongrugencji :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2009, o 06:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
\phi{3}=2 \wedge NWD_{(p,3)}=1 \Rightarrow p^{2}\equiv1 \ (mod \ 3)
(p^{2})^{2}\equiv1^{2}=1 \ (mod \ 3)

Dla 2 lepiej rozpisać normalnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2009, o 13:03 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: podkarpacie
Artist napisał(a):
\phi{3}=2 \wedge NWD_{(p,3)}=1 \Rightarrow p^{2}\equiv1 \ (mod \ 3)
(p^{2})^{2}\equiv1^{2}=1 \ (mod \ 3)


Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jaka tutaj zależność funkcji Eulera czy to kongruencji jest użyta ? Czy to się stosuje tylko do l.pierwszych ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2009, o 13:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
Do liczb względnie pierwzych tzn. NWD_{p,q}=1
Dla przykładu:
NWD_{100,9}=1
Mimo iż obie są złożone.
Teraz mamy:
q^{\varphi(p)} \equiv 1 \ (mod \ p)
No i dla naszego przykładu:
9^{40} \equiv 1 \ (mod \ 100)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl