szukanie zaawansowane
 [ Posty: 37 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 kwi 2009, o 23:08 
Użytkownik

Posty: 529
Czy liczba 17^{13} + 13^{17} jest podzielna przez 10 ? Odpowiedź uzasadnij.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 kwi 2009, o 23:32 
Użytkownik

Posty: 296
Lokalizacja: Polska
Musisz wykazać, że liczba jedności tej cyfry jest równa 0, najbardziej elementarnie można to zrobić (nie korzystając dosł. z funkcji modulo) rozpatrując właśnie te liczby jedności
17
liczby jedności przy kolejnych potęgach zaczynając od 1 to:
7, 9, 3, 1, 7, 9, ...
Natomiast 13:
3, 9, 7, 1, 3, ...

Liczba jedności 13 do potęgi 17 to 17:4=4 r. 1 (dzielę przez 4, bo tyle wynosi okres jedności-co 4 pojawia się ta sama liczba), czyli szukana jedność znajduje się na 1(reszta) miejscu, patrząc na napisany przeze mnie wyżej rozkład zobaczysz, że jest to 3.
Analogicznie, widzimy, że liczba jedności 17 do potęgi 13 w rozkładzie będzie na 1 miejscu-czyli mamy 3.
17^{13} + 13^{17}= ...3 + ...7 =....0 = 10a, gdzie a jest liczbą całkowitą
Jeśli znałbyś kongruencje, zapewne nie miałbyś z tym zadaniem problemu ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 kwi 2009, o 11:49 
Użytkownik

Posty: 529
Czytałem wczoraj własnie o tych kongurencjach ale zbytnio tego nie rozumiem, to znaczy nie za bardzo wiem jak zastosować to w zadaniu. Mogłabyś pokazać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 kwi 2009, o 11:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
17^{13}\equiv 7^{13} \equiv 7 (mod10)
13^{17}\equiv 3^{17}\equiv 3 (mod10)
17^{13} +13^{17} \equiv 7+3=10\equiv 0 (mod10)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2009, o 17:27 
Użytkownik

Posty: 529
Nie za bardzo rozumiem skąd się wzięła ostatnia linijka. Możnaby prosić o wytłumaczenie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2009, o 17:33 
Gość Specjalny

Posty: 3053
Lokalizacja: Świdnik
Można dodawać kongruencje (mod n) stronami i to właśnie zostało zrobione
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2009, o 21:47 
Użytkownik

Posty: 529
No tak teraz to już jednak widzę. Nie mogę jednak nadal zrozumieć jak na podstawie ostatniej linijki dowieśc że ta liczba faktycznie jest podzielna przez 10.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 07:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
W ostatniej linijce jest pokazane, że ta liczba przy dzieleniu przez 10 daje resztę zero \equiv 0 (mod10), a co za tym idzie jest podzielna przez 10.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 08:25 
Użytkownik

Posty: 529
No tak, dlatego że 10 jest w kongurencji z zerem względem modułu 10 ? (Bo 10 - 0 = 10 co oczywiście jest podzielne przez 10). O to chodzi ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 08:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
To się nazywa kongruencja, a nie kongurencja. Przeczytaj mój ostatni post tam ci napisałem dlaczego tak jest. W kongruencji (modn) chodzi o reszty z dzielenia liczby przez n. Zapis a\equiv b (modn) oznacza, że liczba a przy dzieleniu przez n daje resztę b, a więc zapis 17^{13} +13^{17} \equiv 7+3=10 \equiv 0 (mod10) oznacza, że liczba 17^{13} +13^{17}, przy dzieleniu przez 10 daje resztę 0, a co za tym idzie jest przez nią podzielna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 10:27 
Użytkownik

Posty: 529
A ja wyczytałem, że dwie liczby są w kongruencji według modułu n, jeżeli różnica a-b jest podzielna przez n.

Nie rozumiem jeszcze, skąd w ostatniej linijce wzięło się to zero...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 10:36 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
To co napisałeś jest równoważne temu co ja napisałem. Definicje kongruencji są dwie ta co ja napisałem i ta co ty napisałeś. To ostatnie przejście wynika z tego co napisałeś, czyli 10 i 0 są w kongruencji modulo10.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 10:40 
Użytkownik

Posty: 529
Rozumiem wszystko do momentu

17^{13} +13^{17} \equiv 10  (mod10)

I do tego momentu wszystko rozumiem, ale dalej niestety nie za bardzo :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 10:44 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
Dalej masz tylko, że
10\equiv 0 (mod10)
I czego z tego nie rozumiesz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2009, o 10:50 
Użytkownik

Posty: 529
I teraz należy dodać stronami i 10 po lewej stronie zredukuje się z 10 po prawej stronie?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 37 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl