szukanie zaawansowane
 [ Posty: 26 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Offline
PostNapisane: 30 wrz 2004, o 17:32 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: z łap
Jak udowodnić że pierwiastek np. :z 2 lub 3 jest liczbą niewymierną ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 wrz 2004, o 17:51 
Gość Specjalny

Posty: 800
Lokalizacja: W-U
Zalozyc, ze jest wymierna, czyli jest w postaci ulamka nieskaracalnego \frac{p}{q} - p i q sa naturalne, podniesc stronami do kwadratu, pomnozyc przez q^2 i popatrzec na obie strony rownania, przyklad dla \sqrt{3}:
3q^2 = p^2
lewa strona dzieli sie przez trzy i ma byc kwadratem p  \rightarrow  p dzieli sie przez 3
p dzieli sie przez 3, czyli p = 3k
wtedy
3q^2 = 9k^2 |:3\\
q^2 = 3k^2
analogiczne rozumowanie jak poprzednio prowadzi do wniosku, ze q dzieli sie przez 3:
q = 3n

Wtedy \frac{p}{q} = \frac{3 \cdot k}{3 \cdot n} = \frac{k}{n}  \rightarrow sprzecznosc z zalozeniem, ze ulamek \frac{p}{q} jest nieskracalny. Czyli zalozenie, ze \sqrt{3} jest wymierne prowadzi do sprzecznosci, stad \sqrt{3} jest niewymierne...
Góra
Offline
PostNapisane: 1 paź 2004, o 06:58 
Użytkownik

Posty: 17
wkradl sie blad w przeksztalceniu
zamiast
3p^2 = q^2
powinno byc
3q^2=p^2

zalozenie o p i q ze sa naturalne jest chyba zbyt mocne - wystarczy zeby byly calkowite

a teraz podeje dowod na niewymiernosc pierwiastka, ktory mi sie podoba:

zakladamy, ze \sqrt{3} jest liczba wymierna czyli mozna przedstawic w postaci ilorazu dwoch liczb calkowitych

\sqrt{3}=\frac{p}{q}, gdzie p i q sa calkowite i q\neq 0

po podniesieniu stronami do kwadratu i pomnozeniu przez q^2 otrzymujemy

3 \cdot q \cdot q=p \cdot p

w iloczynie 3 \cdot q \cdot q wystepuje nieparzysta liczba 3 w rozkladzie na czynniki pierwsze, bo w iloczynie q \cdot q liczba 3 wystepuje parzysta ilosc razy lub nie wystepuje wcale

w iloczynie p \cdot p liczba 3 wystepuje parzysta ilosc razy lub wcale

zatem ilosc 3 przy rozkladzie na czynniki pierwsze po lewej stronie rownosci nie zgadza sie z iloscia 3 po prawej stronie rownosci

czyli mozna powiedziec ze rownosc jest sprzeczna

zatem \sqrt{3} nie da sie przedstawic w postaci ilorazu dwoch liczb calkowitych

\sqrt{3} nie jest liczba wymierna, wiec jest liczba niewymierna

cnd
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 paź 2004, o 17:20 
Gość Specjalny

Posty: 800
Lokalizacja: W-U
Dzieki za zwrocenie uwagi, oczywiscie powinno byc "calkowite" tak jest scislej. Blad z p i q poprawilam.
Podoba mi sie Twoj dowod, chyba latwiejszy do zrozumienia. :)

Polaczylam tez Twoje posty, zamiast pisac dwa posty pod rzad, lepiej jest ten pierwszy edytowac (okienko "zmien" nad trescia postu z prawej strony).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2004, o 17:37 
Użytkownik

Posty: 49
Lokalizacja: Jasło
mozna troche krocej np dla \sqrt{3}:
\sqrt{3}=x |^2\\
3=x^2
x^2-3=0   \leftarrow jest twierdzenie: jezeli wielomian o wspolczynnikach calkowitych ma pierwiastki wymierne to sa one postaci \frac{p}{q}, gdzie p to podzielnik wyrazu wolnego, a q podzielnik wyrazu przy najwyzszej potedze, w tym przypadku \frac{p}{q} \in\{-3,-1,1,3\}, czyli nie ma tu \sqrt{3}, wiec jest to liczba niewymierna, tak samo mozesz robic z innymi wyrazeniami, np. sprawdz sobie czy \sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5} jest wymierne (udowodnij znaczy), po odpowiednich przeksztalceniach dojdziesz do wielomianu jakiegos:P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2006, o 21:51 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: BD
to ja mam jeszcze taki może głupi i bezsensowny przykład, ale mnie irytuje nieco...

no bo postepując analogicznie do rozwiazania Yavien, chcialem przeanalizowac przykład dla \sqrt{4}. wszyscy oczywiscie wiedza ze jest to 2, a to jest liczba wymierna, no ale sprobojmy:

Zakladamy, ze liczbe mozna zapisac w postaci ulamka nieskaracalnego \frac{p}{q} - p i q sa naturalne, podniesc stronami do kwadratu, pomnozyc przez q^2 i popatrzec na obie strony rownania, przyklad dla \sqrt{4}:
4q^2 = p^2
lewa strona dzieli sie przez cztery i ma byc kwadratem p  \rightarrow  p dzieli sie przez 4
p dzieli sie przez 4, czyli p = 4k
wtedy
4q^2 = 16k^2 |:4 \\
q^2 = 4k^2
analogiczne rozumowanie jak poprzednio prowadzi do wniosku, ze q dzieli sie przez 4:
q = 4n

Wtedy \frac{p}{q} = \frac{4 \cdot k}{4 \cdot n} = \frac{k}{n} \rightarrow no i tu wychodzi ze niby to jest sprzeczność...... no ale to powinna byc prawda. To gdzie jest blad w rozumowaniu?? coś przegapilem? pewnie tak, tylko gdzie. :/ Gdzyby mogl to ktos wyjasnić, z pewnoscią pomogloby mi to zrozumieć problem udowadniania liczb niewymiernych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2006, o 22:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2656
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
http://matematyka.pl/viewtopic.php?p=89 ... ght=#89339
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2006, o 22:17 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Lokalizacja: Ruda Śląska
mucha87 napisał(a):
lewa strona dzieli sie przez cztery i ma byc kwadratem p --> p dzieli sie przez 4

To akurat prawdą nie jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2006, o 23:47 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: BD
Adams napisał(a):
mucha87 napisał(a):
lewa strona dzieli sie przez cztery i ma byc kwadratem p --> p dzieli sie przez 4

To akurat prawdą nie jest.


Prawdą jest na pewno, ze lewa strona dzieli sie przez 4 (no bo jest: 4q^2) i ma być kwadratem p (bo L=p^2).
Czyli wychodzi na to, że p nie moze dzielić sie przez 4? To dlaczego w przypadku pierwiastka z 3 tamto p moglo dzielic sie przez 3? :/

Czy ktoś potrafilby to rozwiązać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2006, o 14:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Lokalizacja: Ruda Śląska
mucha87 napisał(a):
Czyli wychodzi na to, że p nie moze dzielić sie przez 4

Nie, z tej implikacji, którą napisałeś wychodzi, że p jest podzielne przez 2 (a przez 4 nie musi się dzielić)
mucha87 napisał(a):
To dlaczego w przypadku pierwiastka z 3 tamto p moglo dzielic sie przez 3? :/

3 nie jest całkowitą wielokrotnością kwadratu liczby naturalnej \ge 2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2008, o 19:19 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Wrocław
Witam wszystkich matematyków ;) Milo mi ;)

Oczywiscie mam problem, wiec tu pisze ;)

Potrzebuje jeszcze bardziej łopatologicznego wyjasnienia dowodu na to ze pierw. z 3 nie jest liczba wymierna. No niestety.... nie kazdy ma te umiejetnosc od razu kumania zadan matematycznych. Zazdroszcze matematykom.

Moze to pytanie coś da: Skad tam sie bierze nakle "k" w tym dowodzie? Co to jest? Moze o czyms nie pamietam... nie wiem. W koncu zdalem te matme na maturze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2008, o 19:58 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Zakładamy, że pierwiastek z 3 jest liczbą wymierną, więc można go przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych, względnie pierwszych,(nie mają, żadnego wspólnego dzilenika, prócz 1) niech te liczby będą: p i q
więc:
\frac{p}{q}= \sqrt{3} \ \ \ \ | ^{2}
\frac{p ^{2} }{q ^{2} } = 3
3q^{2} = p ^{2}
z tego widzimy, że 3|p ^{2}
więc p możemy przedstawić w takiej postaci: p= 3k
p^{2} =  \left(3k \right)  ^{2} = 9k ^{2}
3q^{2} = 9k^{2}
teraz widzimy, że p i q mają wspólny dzielnik: 3 więc jest to sprzeczne z założeniem (o tym, że q i p są względnie pierwsze, czyli \sqrt{3} jest liczbą niewymierną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2014, o 18:07 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Wrocław
W takim razie jak udowodnić \sqrt{16} bo dochodząc do16 q^{2}=p ^{2} i podstawiając tak samo p=16k mamy bzdet 16q ^{2} = 256k ^{2} i nie idzie. Tak samo w przypadku \sqrt{4}, ktoś mógłby do końca przedstawić taki dowód?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2014, o 18:13 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
Nie da rady tego udowodnić, bo to nieprawda. Te pierwiastki które podałeś są wymierne, a nawet całkowite.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2014, o 18:25 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Wrocław
Właśnie, chodzi to, żeby sprawdzić. Jak mogę "sprawdzić czy jest wymierny?" Jeżeli da się udowodnić tym niewymierność, to wymierność też, tu zakładamy, że jest wymierny. A co jeśli jest wymierny, powinno wyjść inaczej. Jest jakiś sposób na sprawdzenie?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 26 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnić niewymierność  Mariusz1234  1
 Udowodnić podzielność przez 120  karolex123  4
 Niewymiernosc - zadanie 5  IchBinHier  2
 Udowodnić podzielność - kongruencja - zadanie 2  Poszukujaca  4
 Udowodnić NWD(a,b)=NWD(a,a-b).  GluEEE  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl