szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2009, o 16:16 
Użytkownik

Posty: 568
Wykaż, że jeżeli suma trzech liczb jest podzielna przez 3, to także suma ich sześcianów jest podzielna przez 3.

z gory dzieki za pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2009, o 16:19 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
3| a^3 -a
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2009, o 15:19 
Użytkownik

Posty: 568
a moglbys to troche wyjasnic bo nie rozumiem :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2009, o 16:22 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej 3|n^3-n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2009, o 16:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 259
owen1011 napisał(a):
Wykaż, że jeżeli suma trzech liczb jest podzielna przez 3, to także suma ich sześcianów jest podzielna przez 3.


:arrow:

(a+b+c)^{3}=(a^{3}+b^{3}+c^{3})-3a^{2}b+3ab^{2}-3(a+b)^{2}c+3c^{2}(a+b)=(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3(-a^{2}b+ab^{2}-(a+b)^{2}c+c^{2}(a+b))
Skoro lewa strona dzieli sie przez 3 to i prawa dzieli sie przez 3 wiec i a^{3}+b^{3}+c^{3} dzieli się przez 3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2009, o 07:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
Albo:
a+b+c \equiv 0 \ (mod \ 3) \Leftrightarrow a \equiv -b-c \ (mod \ 3)
Stronami do trzeciej:
a^{3} \equiv -b^{3}-3b^{2}c-3ac^{2}-c^{3} (mod \ 3)
a^{3}+b^{3}+c^{3} \equiv 3(-b^{2}c-ac^{2}) \equiv 0 \ (mod \ 3)
c.n.d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2012, o 12:55 
Użytkownik

Posty: 83
Lokalizacja: Katowice/Czeladź
n^{3}-n=n \cdot\left( n^{2}-1^{2}\right)=n \cdot \left( n-1\right)\left( n+1\right)
ale jak podzielność tego wyrażenia przez trzy odnosi się do zadania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2012, o 12:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Jeżeli n^3-n\equiv 0 \pmod{3} to n^3\equiv n \pmod{3}
Teraz wykorzystaj założenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2012, o 19:12 
Użytkownik

Posty: 197
Lokalizacja: Płock
Cytuj:
Wykaż, że jeżeli suma trzech liczb jest podzielna przez 3, to także suma ich sześcianów jest podzielna przez 3.


Ares41: amadeuszi pyta skąd wzięło się to, że n^3-n bez reszty dzieli się przez 3. Powinieneś to wytłumaczyć, ja też tego nie rozumiem. Nie pytają przecież o żadną różnicę. Proponował bym pisać też po ludzku widząc, że ja ktoś ma 16 lat to nie musi wiedzieć co to jest modulo. Ja sam też nie wiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2012, o 19:26 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
No to może ja spróbuje. Wykażemy że dla n \in N zachodzi 3|n ^{3}-n.
Skoro n ^{3}-n=n\left( n-1\right)\left( n+1\right) Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, zatem znajdzie się wśród nich liczba podzielna przez 3 a więc 3|n ^{3}-n.
Zatem 3|a ^{3}-a,3|b ^{3}-b i 3|c^{3}-c. Dodając mamy:
3|\left( a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)  -\left( a+b+c\right). Z założenia 3|a+b+c. Dodając
mamy 3|a^{3}+b^{3}+c^{3}, a to należało udowodnić. Bardziej elementarnie się chyba nie da.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2012, o 19:41 
Użytkownik

Posty: 197
Lokalizacja: Płock
nie powinno być przypadkiem: 3|\left( a^{3}+b^{3}+c^{3}\right) -3|\left( a+b+c\right)?

Jak tak to dzięki już czaje :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2012, o 19:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
stanley12 napisał(a):
nie powinno być przypadkiem: 3|\left( a^{3}+b^{3}+c^{3}\right) -3|\left( a+b+c\right)?


Ten zapis nie ma sensu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2012, o 19:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
stanley12 napisał(a):
Ares41: amadeuszi pyta skąd wzięło się to, że n^3-n bez reszty dzieli się przez 3. Powinieneś to wytłumaczyć, ja też tego nie rozumiem.

stanley12, a przeczytaj uważnie pytanie amadeuszi. On pyta jak z tego, że 3|n^3-n wynika teza zadania. A no wynika bardzo prosto, jeżeli weźmiemy n_1,n_2,n_3 \in \mathbb{N} to wtedy n_1^3+n_2^3+n_3^3\equiv n_1+n_2+n_3 \pmod{3}. Teraz już tylko wystarczy skorzystać z założenia.
Jeżeli nie podoba Ci się użycie modulo to kolega wyżej pokazał inny zapis tego faktu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2012, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 197
Lokalizacja: Płock
1.to jak jest np. b podzielne przez 2 i a^2+b też podzielne przez dwa, to jak dodam albo odejmę b od a^2+b , to to co mi zostanie nadal będzie podzielne przez dwa tak?

2.W sumie, to miało by sens:
2|b  \wedge 2|(a^2+b)
2|(a^2+b)+2|b=2|(a^2)+2|b
2|(a^2+b)+2|b=2|a^2


3.Czy ten zapis jest w ogóle poprawny?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 3 - zadanie 16  mrafa  2
 podzielność przez 3 - zadanie 17  theoldwest  6
 podzielność przez 3 - zadanie 2  Marie  2
 podzielność przez 3 - zadanie 14  szysza94  7
 podzielność przez 3 - zadanie 5  kujdak  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl