szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2009, o 11:02 
Użytkownik

Posty: 7
Witam,
mam problem z dwoma zadaniami z zbioru Kiełbasy ("Matura 2005-... cz.1), str. 103, zad. 11.41 b) i 11.42 a) i b))

11.41 b)
Stosując zasadę indukcji matematycznej, wykaż że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość 2 ^{0} + 2 ^{1}+2 ^{2}+...+2 ^{n} = 2 ^{n+1}-1

Tutaj mam też pytanie od czego zależy wartość n _{0}? Bo gdy podstawiłem za n _{0}=1, wtedy L \neqP

W dowodzie doszedłem do 2 ^{n+1} - 1 + 2 ^{n+1} i stanąłem

11.42
Stosując zasadę indukcji matematycznej, wykaż, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność
a) 4 ^{n} + 3  \ge  3 ^{n} + 4

b) 2 ^{n}  \ge 2n

tutaj doszedłem do założenia, jednak z tezą i dowodem nie wiedziałem co zrobić...

proszę o pomoc, wskazówki :)
pozdr
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2009, o 11:19 
Użytkownik

Posty: 74
Lokalizacja: Szczecinek
11.41 b) wartość n_{0} jest to pierwsza wartość n dla której dana równość ma być spełniona, w twoim przypadku jest to n_{0}=1 bo w poleceniu masz "dla każdej liczby naturalnej" (nakładamy, że pierwsza liczbą naturalną jest 1). Zauważ, że faktycznie dla n=1 zachodzi L=P, gdyż masz:
2^{0}+2^{1}=1+2=3=4-1=2^{2}-1
Ciąg dalszy dowodu to 2^{n+1}-1+2^{n+1}=2 \cdot 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1, c.k.r.z
11.42 a) dla n_{0}=1 łatwo sprawdzić, że dana nierówność jest spełniona, przybiera ona wtedy postać 7=7. Przeprowadźmy dowód indukcyjny. Założenie indukcyjne: 4^{n}+3 \ge 3^{n}+4 \Leftrightarrow 4^{n} \ge 3^{n}+1
należy udowodnić, że 4^{n+1}+3 \ge 3^{n+1}+4 \Leftrightarrow 4^{n+1} \ge 3^{n+1}+1. Mamy kolejno 4^{n+1}=4 \cdot 4^{n} \ge 4 \cdot (3^{n+1}+1)=4 \cdot 3^{n}+4>3 \cdot 3^{n}+1=3^{n+1}+1, c.k.r.z.
b) Dla n_{0}=1 otrzymujemy oczywistą równość 2=2.
Mamy założenie indukcyjne: 2^{n} \ge 2n. Należy udowodnić, że 2(n+1) \le 2^{n+1} \Leftrightarrow 2n \le 2^{n+1}-2=2(2^{n}-1). Ze wzorów skróconego mnożenia mamy:
2^{n}-1=(2-1)(2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{2}+2^{1}+1)=2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{2}+2^{1}+1>2^{n-1}.
Uwzględniając teraz założenie indukcyjne możemy zapisać 2(2^{n}-1)>2 \cdot 2^{n-1}=2^{n} \ge 2n, c.k.r.z.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2009, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 7
Nie rozumiem kilku rzeczy i gdyby mógł mi ktoś jeszcze objaśnić co nieco, byłbym wdzięczny.

W 11.41

Kwestia _{0}... Ja rozumiem to w ten sposób, że jeśli przyrównuję n=1, to w miejsce każdego n wstawiam jedynkę i wtedy sprawdzenie wygląda w moim rozumowaniu następująco:
2 ^{1} = 2 ^{1+1} czyli 2 \neq 2 ^{2}. Także gdyby mógł mi ktoś wytłumaczyć gdzie popełniam błąd.

W 11.42 a)
Gdyby mógł ktoś opatrzeć komentarzem zapis
Cytuj:
4^{n+1}=4 \cdot 4^{n} \ge 4 \cdot (3^{n+1}+1)=4 \cdot 3^{n}+4>3 \cdot 3^{n}+1=3^{n+1}+1


W 11.42 b)
J/w, odnośnie zapisu
Cytuj:
2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{2}+2^{1}+1>2^{n-1}.
Uwzględniając teraz założenie indukcyjne możemy zapisać 2(2^{n}-1)>2 \cdot 2^{n-1}=2^{n} \ge 2n


Dziękuję za dotychczasową pomoc kubie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2009, o 20:48 
Użytkownik

Posty: 74
Lokalizacja: Szczecinek
Dokładnie, tam gdzie masz n wstawiasz 1, ale zauważ, że po lewej stronie masz sumę wszystkich potęg dwójki od 2^{0} do 2^{n} Zatem podstawiając po lewej stronie n=1 otrzymasz to co napisałem.

11.42 a)
To co napisałem to ciąg równości/nierówności, robi się tak, żeby uniknąć zbędnego przepisywania. Każdą równość/nierówność rozpatrujemy pojedynczo. Zakładam, że poszczególnych równości nie muszę tłumaczyć. Pierwsza nierówność wynika z założenia indukcyjnego, druga wynika z dwóch prostych faktów:
1: 4>3 \Rightarrow 4 \cdot 3^{n}>3 \cdot 3^{n}
2: 4>1
Te nierówności po dodaniu stronami dadzą Ci drugą nierówność.

11.42 b

Ta wyższa nierówność wynika z faktu, że każdy ze składników 2^{n-2},2^{n-3},...,2^{1},2^{0}
jest większy od 0
Pierwszą z niższych nierówności mamy z tego, że 2^{n}-1>2^{n-1} co udowodniłem wcześniej, druga wynika z założenia indukcyjnego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2009, o 20:50 
Użytkownik

Posty: 7
Daję "pomógł". Wielkie dzięki :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Problem z indukcja matematyczna  rafi84  1
 problem z indukcją matematyczną - zadanie 2  domesticatedgirl  1
 Wykazanie nierówności. Problem z dowodem.  Scoler  4
 Indukcja mat. (suma 3-cich potęg liczb naturalnych)  petro  5
 indukcja matematyczna, funkcje trygonometryczne  witek1  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl