szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2009, o 08:39 
Użytkownik

Posty: 14
Witam! Ostatnio rozwiązywałem zadania z przystawania trójkątów i z niektórymi nie mogłem sobie poradzić. Proszę o pomoc, bądź jakieś wskazówki :)

1. Na bokach BC i CA trójkąta ABC zbudowano po jego zewnętrznej stronie kwadraty BCDE oraz CAFG. Prosta przechodząca przez punkt C i prostopadła do prostej DG przecina odcinek AB w punkcie M. Udowodnić, że AM=MB.

2. Na bokach BC, CA i AB trójkąta ABC zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne BCD, CAE i ABF. Na boku AB zbudowano po wewnętrznej stronie trójkąta ABC taki trójkąt ABF, że \sphericalangle BAF = \sphericalangle ABF = 30^{o}. Dowieść, że DF=EF.

3. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach BC i AB trójkąta równobocznego ABC, przy czym BE=CD. Punkt M jest środkiem odcinka DE. Wykazać, że BM=\frac{1}{2}AD.

4. Dany jest trójkąt ABC w którym \sphericalangle A=90^{o} oraz AB=AC. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach AB i AC, przy czym AD=CE. Prosta przechodząca przez punkt A i prostopadła do prostej DE przecina bok BC w punkcie P. Wykazać, że AP=DE.

5. Dany jest trójkąta ABC, w którym \sphericalangle ACB=60^{o} oraz AC<BC. Punkt D leży na boku BC, przy czym BD=AC. Punkt E jest punktem symetrycznym do punktu A względem punktu C. Udowodnić, że AB=DE.

6. W sześciokącie wypukłym A B C D E F wszystkie boki są równej długości oraz \sphericalangle A+\sphericalangle C+\sphericalangle E=\sphericalangle B+\sphericalangle D+\sphericalangle F. Dowieść, że przekątne AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie.

Dziękuję za każdą pomoc lub wskazówkę.
Pozdrawiam.

-- 3 maja 2009, o 10:33 --

Odświeżam i proszę ponownie o pomoc.

Pozdrawiam.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 maja 2009, o 15:50 
Użytkownik

Posty: 16232
Zadanie 3
Obrazek
Poprowadźmy prostą równoległą do AB i przechodzącą przez punkt D (trójkąt FDC będzie równoboczny i |FD|=|EB|)
\Delta ABD\equiv \Delta ABF

|<ABD|=|<BAF|=60^o
|AB|=|AB|-bok wspólny
|BD|=|AF| - bo FD\parallel AB
stąd
|AD|=|BF|

\Delta AEF jest równoramienny o kącie między ramionami 60^o, czyli jest równoboczny.
|AF|=|FE|=|BD|\\
|FD|=|EB|
Czworokąt EBDF jest równoległobokiem o przekątnych ED i BF. Przekątne w równoległoboku dzielą się na pół. Punktem przecięcia się przekątnych jest punkt M.
|BM|=|FM|\\
|BM|= \frac{1}{2}|BF|= \frac{1}{2}|AD|

Zadanie 5
Obrazek
Z wierzchołka C skonstruuuj trójkąt równoboczny.

\Delta DCE\equiv \Delta ABF

|<DCE|=|<AFB|=120^o\\
|CE|=|AF|=a
z+y=a  \Rightarrow z=a-y\\
y+x=a \Rightarrow x=a-y
x=z
czyli
|CD|=|FB|

Zatem |AB|=|DE|

Zadanie 4
Obrazek

|<AEH|=\alpha  \Rightarrow |<EAH|=90^o-\alpha
|<PAB|=90^o-|<EAH|=90^o-(90^o-\alpha)=\alpha

\Delta ABP\equiv \Delta ACF

|AB|=|AC| - trójkąt ABC był równoramienny
|<ABP|=|<ACF|=45^o
|<PAB|=|<CAF|=\alpha - trójkąt AGE jest równoramienny
czyli
|AP|=|AF|

Czworokąt ADFE jest prostokątem o przekątnych DE i AF. Przekątne w prostokącie są równe, więc
|AF|=|DE|
czyli
|AP|=|DE|

Mógłbyś sprawdzić jeszcze raz treść zadania 2?
Na boku AB zbudowano dwa trójkąty ABF?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2011, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podbijam.
Ad 1.
Ukryta treść:    


Sam chętnie zobaczyłbym wskazówkę do zadania nr 2. :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 sty 2011, o 23:42 
Użytkownik

Posty: 16232
Coś tam z treścią jest nie tak. Są dwa trójkąty ABF.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2011, o 12:45 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Zgadza się. Tego "pierwszego", równobocznego i zewnętrznego ABF ma (raczej na pewno :) ) nie być.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2011, o 12:59 
Użytkownik

Posty: 343
Lokalizacja: Radom
Podbijam :P

@Up zgadza się, EBF nierównoboczny (rysunek tutaj: http://matma.ilo.pl/images/pompe.pdf zad 9). Jedyne co mi przychodzi do głowy to odbić F względem prostej AB - kąt <FAG (gdzie G to wierzchołek trójkąta równobocznego o podstawie AB zbudowanego po zewnętrznej stronie ABC) wtedy jest prosty, FF' = AF i mamy przynajmniej jakiś wniosek z tego, że <BAF = <ABF = 30^{0} (innych zastosowań tego warunku nie widzę), a poza tym można kombinować z Napoleonem, ale nie udało mi się nic wskórać.

Czółko.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 wrz 2011, o 01:15 
Użytkownik

Posty: 16232
Zadanie 2
263036.htm#p4780579
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 stosunek pól trójkątów - zadanie 2  _Mithrandir  2
 trygonometria kilka zadan  Haju1991  5
 Pole trójkątów - zadanie 3  Piotr998px  5
 Kilka zadanek - zadanie 11  Czekol  1
 Pola trójkątów Bardzo ważne - zadanie 19  matfiz12  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl