Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Ciągi i szeregi funkcyjne

Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego

Strona 1 z 1

[ Posty: 6 ]

Autor

Wiadomość

falas

Tytuł: Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego

Napisane: 3 maja 2009, o 17:54

Posty: 20

Może ktoś doradzić??

$\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n} \frac{1}{ n^{2} (x^{2}-1)^{n} }$

Zrobiłem tak:
1)Z kryt. pierwiastkowego policzyłem $\alpha(x)= \frac{1}{ \left| x^{2}-1 \right| }$

Aby obliczyć zbieżność trzeba zrobić nierówność $\alpha(x)<1$

Z nierówności bezwzględnej wyszły mi dwa przedziały:

$x \in (- \infty ,-1) \cup (1,+ \infty ) i druga x \in (- \infty ,- \sqrt{2}) \cup (-1,1) \cup ( \sqrt{2},+ \infty ) I co dalej??$

-- 3 maja 2009, o 22:25 --

nie może nikt pomóc?

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019

Góra

BettyBoo Offline

Tytuł: Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego

Napisane: 7 maja 2009, o 12:03

Posty: 5356
Lokalizacja: Gliwice

Nie bardzo wiem, jak otrzymałeś swoje rozwiązanie.
Powinno być:

$\alpha(x)= \frac{1}{ \left| x^{2}-1 \right| }<1\ \Leftrightarrow \ |x^2-1|>1$
Więc mamy 2 przypadki

1) $x^2-1\geq 0\ \Rightarrow x^2-1>1\ \Rightarrow x^2>2$ . Ponieważ z warunku mamy $x^2\geq 1$ , to rozwiązaniem jest $(-\infty,-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)$

2) $x^2-1\leq 0\ \Rightarrow -x^2+1>1\ \Rightarrow -x^2>0$ , co daje sprzeczność.

Ostatecznie rozwiązaniem jest $(-\infty,-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)$ .

Na pewno szereg jest zbieżny dla $\alpha(x)<1$ i na pewno jest rozbieżny dla $\alpha(x)>1$ . Trzeba więc zbadać, co się dzieje gdy $\alpha(x)=1$ - co jest możliwe wg powyższego wtedy i tylko wtedy, gdy $x=\pm \sqrt{2}$ . Otrzymujesz dwa szeregi liczbowe, których zbieżność musisz zbadać. Jeśli któryś jest zbieżny, to punkt dołączasz do obszaru zbieżności szeregu.

Pozdrawiam.

Góra

falas

Tytuł: Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego

Napisane: 7 maja 2009, o 21:10

Posty: 20

Dzięki za pomoc, ale potrzebowałem to na dziś rano

Wziąłem się w "kupę" i rozwiązałem ten szereg z samego rana

Te przedziały co podałem są jak najbardziej dobre. Trzeba tylko w następnym kroku wybrać część wspólną tych dwóch przedziałów i wychodzi taki jak podałeś. Dalej sobie też poradziłem.

Niemniej jednak dzięki za zainteresowanie i pomoc.

Pozdrawiam

Góra

rafal_nh Offline

Tytuł: Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego

Napisane: 8 cze 2011, o 23:46

Posty: 1
Lokalizacja: Kraków

Sorki za odświeżanie starego tematu, ale skoro ja tu trafiłem to pewnie inni też czasem zaglądną, wydaje mi się że trzeba jeszcze sprawdzić co się dzieje w przypadku x=0. Bo wtedy też jest zbieżny. Pozdrawiam

Góra

Rogal

Tytuł: Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego

Napisane: 9 cze 2011, o 11:06

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej

Ale po co to sprawdzać osobno, skoro z ogólnego wyniku wiemy, że dla x = 0 jest zbieżny?

Góra

BettyBoo Offline

Tytuł: Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego

Napisane: 10 lis 2011, o 12:57

Posty: 5356
Lokalizacja: Gliwice

rafal_nh napisał(a):

Masz rację, $\alpha(x)=1$ zachodzi również dla $x=0$ - zatem są trzy przypadki do sprawdzenia, a nie dwa.

Pozdrawiam.

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 6 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Ciągi i szeregi funkcyjne

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego - zadanie 3	marta001	1
obszar zbieżności szeregu funkcyjnego - zadanie 2	sympatia17	4
Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego - zadanie 4	marta001	1
Uzasadnić zbieżność jednostajną szeregu	Cassandra19x	1
Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu	elpopo	4

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]