szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2006, o 20:31 
Użytkownik

Posty: 117
Lokalizacja: Grudziądz
Dla jakich wartości parametru a równanie lx-1l = a � -4a-1 ma dwa dodatnie pierwiastki?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2006, o 20:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Znów zrobimy to z własności. Rozbijemy to równanie z wartością bezwzględną na alternatywę dwóch równań. W każdym z tych równań dojdziemy do x w jakiejś postaci, który ma być większy od zera. Pierwsze równanie:
x-1=a^2-4a-1
x=a^2-4a
a^2-4a>0
a(a-4) >0
a \in (- \infty;0) \cup (4; \infty)
Drugie równanie:
x-1=-a^2+4a+1
x=-a^2+4a+2
-a^2+4a+2>0
\sqrt{ \Delta}= 2 \sqrt{6}
Wyliczamy pierwiastki i odczytujemy, że nasz przedział to:
a \in ( 2-\sqrt{6} ; 2+ \sqrt{6})
Skoro obydwa rozwiązania mają być dodatnie, to bierzemy część wspólną z uzyskanych zbiorów i odpowiedź końcowa to a \in ( 2- \sqrt{6};0) \cup (4; 2+ \sqrt{6}).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2006, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 117
Lokalizacja: Grudziądz
Heh. To zadanie było łatwiejsze niż myśąłem:) . Dzięki za pomoc.
Mam jeszcze jedno zadanko z dwoma parametrami:
Rozwiąż równanie a�(x-1)-ab=b�(x+1)+ab gdzie a i b sa parametrami
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2006, o 22:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Mam prośbę tak na przyszłość - pisz w Texu. Aby nie doszło do kolizji oznaczeń, przekształcę sobie parametry a i b na m i n. Mamy wtedy m^2(x-1)-mn=n^2(x+1)+mn.

1.Przekształcamy dane równanie do postaci liniowej (ax+b=0):
m^2 x-m^2-mn=n^2 x+n^2+mn
(m^2 - n^2)x-m^2 -n^2 -2mn=0
(m^2 -n^2)x-(m^2 +n^2 +2mn)=0
(m^2- n^2)x-(m+n)^2=0
Kolejnymi współczynnikami są: a=m^2 - n^2 i b=-(m+n)^2
2.Dyskusja liczby rozwiązań równania.
a) Nasze równanie jest oznaczone, gdy a \neq 0, czyli:
m^2 - n^2 \neq 0
(m-n)(m+n) \neq 0
m \neq n \vee m \neq -n
Zatem dla m \neq n i m \neq -n oraz -(m+n)^2 \in R (współczynnik b może być dowolny) równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie:
x=\frac{(m+n)^2}{m^2-n^2}=\frac{(m+n)(m+n)}{(m+n)(m-n)}=\frac{m+n}{m-n}
b) Nasze równanie jest nieoznaczone gdy a=0 i b=0, czyli:
m^2-n^2=0 \wedge -(m+n)^2=0
(m-n)(m+n)=0 \wedge m+n=0
Koniunkcja ta zachodzi dla m=n=0.
Zatem dla m=0 i n=0 równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań ( x \in R).
c) Równanie jest przeczne gdy a=0 i b \neq 0, czyli:
m^2 -n^2=0 \wedge -(m+n)^2 \neq 0
(m-n)(m+n)=0 \wedge m+n \neq 0
Wynika z tego, żem-n=0 więc m=n. Zatem dla m \neq 0 i n \neq 0 równanie nie ma rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lut 2006, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 2990
Lokalizacja: Gdynia
Tristan zapomniał o jeszcze jednym warunku, a mianowicie: a^{2}-4*a-1>0; skoro lewa strona jest zawsze dodatnia to prawa tez musi być dodatnia.
Więc:
x\in( 2-sqrt{6};2-sqrt{5} )  \cup ( 2+sqrt{5} ; 2+sqrt{6} )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lut 2006, o 21:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Tak, przeoczyłem to :). Chciałbym jeszcze nanieść jedną poprawkę. Mianowicie ta nierówność powinna wyglądać następująco: a^2-4a-1 \geq 0. Wynika to z faktu, że w końcu wartością pod modułem może być zero. Dlatego też, już ostatecznie, przedział który powinien znaleźć się w odpowiedzi to a \in (2- \sqrt{6}; 2- \sqrt{5}> \cup < 2+ \sqrt{5}; 2+ \sqrt{6}).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wartość bezwzględna i parametr - zadanie 3  xxxxx  1
 wartosc bezwzgledna i parametr - zadanie 4  dano12  2
 wartość bezwzględna i parametr - zadanie 2  inka155  3
 Wartość bezwzględna  Anonymous  6
 Wartość bezwzględna - zadanie 2  mateo19851  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl