szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 maja 2009, o 15:57 
Użytkownik

Posty: 96
Wciągu geometrycznym o wyrazach różnych od 0 piąty wyraz jest równy sumie wyrazów od czwartego do siódmego włącznie. Wykaż, że iloraz tego ciągu jest liczbą niewymierną.
Doszłam do czegoś takiego:
q ^{3}+ q^{2}+1=0 \wedge q \neq 1
czy to już jest dowód?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2009, o 16:15 
Użytkownik

Posty: 300
Potraktuj to jako wielomian i skorzystaj z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu całkowitego: jeżeli ułamek nieskracalny \frac{a}{b},   a,b \in \mathbb{C} jest pierwiastkiem wielomianu całkowitego, to a jest dzielnikiem wyrazu wolnego oraz b jest dzielnikiem współczynnika wiodącego. Tu warunek spełniałby tylko q=1 gdyby nie ograniczenie. Według mnie to wystarczy (ale mogę się mylić).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 maja 2009, o 16:23 
Użytkownik

Posty: 96
właśnie... ale oprócz tej 1 nic nie wychodzi... a ma być wyraźnie liczba niewymierna...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2009, o 16:28 
Użytkownik

Posty: 300
Rozwiązaniem tego w rzeczywistych jest tylko q=-1.4655712318767669..., które jest niewymierne. Szuka się go innymi metodami (http://www.1728.com/cubic.htm, http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_trzeciego_stopnia#Sprowadzenie_do_postaci_kanonicznej) natomiast rozwiązanie wymierne nie istnieje z cytowanego wyżej twierdzenia obłożonego ograniczeniem dla ciągu geometrycznego.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 maja 2009, o 16:32 
Użytkownik

Posty: 96
to wyszło mi z tego
a_{1}q ^{4}= a_{1}q ^{3}  \frac{1- q^{4} }{1-q}

dobra dzięki... odpuszczę już sobie wchodzenie w te inne metody;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Liczba wyrazów - zadanie 2  Barcelonczyk  1
 sume wyrazów ciągu geometrycznego  mateusz.ex  7
 Liczby całkowite i kwadrat sumy  Pathryk  4
 Ilość wyrazów równych zero (kangur 2012)  rafal9541  6
 obliczanie wyrazów ciągu, monotoniczność. lokata...  kubol240  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl