szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2009, o 19:41 
Użytkownik

Posty: 17
Zmienna losowa X ma gęstość okresloną rozkladem N(2,3) wyznaczyc gęstość zmiennej losowej
Y= \frac{1}{3}(X-2)?

z góry thx, w czwartek mam kolo i jestem w upie..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2009, o 21:15 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2303
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Jeżeli X\sim\mathcal{N}(2,3), to Y=\frac{X-2}{3}\sim\mathcal{N}(0,1).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2009, o 22:32 
Użytkownik

Posty: 17
nic nie rozumiem:(, moglbys tak krok po kroku wytlumaczyc?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2009, o 22:34 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2303
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
tutaj nie ma nic do tłumaczenia, zajrzyj do książki pod hasłem standaryzacji zmiennej losowej o dowolnym rozkładzie typu normalnego z parametrami \mu oraz \sigma. Ponadto rozkład zmiennej losowej \mathcal{N}(0,1) pojawia się chyba na jednych z pierwszych zajęć dotyczących dotyczących statystyki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2009, o 15:22 
Użytkownik

Posty: 319
Lokalizacja: Warszawa
zle napisales, tam nie ma standaryzacji, bo 3 to sigma^2, a nie sigma..., a przy standaryzacji dzielisz przez sigma!

-- 26 maja 2009, 16:34 --

X\sim\mathcal{N}\left(2,3\right)\Rightarrow X\sim f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(x-2\right)^{2}}{2\cdot3}\right)

dalej korzystamy ze wzoru:
http://www.im.pwr.wroc.pl/~agniesz/rachunek_prawd_MAP3040/RPr_MAP3040_wyklad_4.pdf (str 3 - transformacja liniowa)

F_{Y}\left(y\right)=P\left(Y<y\right)=P\left(\frac{1}{3}X-\frac{2}{3}<y\right)=P\left(\frac{1}{3}X<y+\frac{2}{3}\right)=P\left(X<\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\right)=F_{X}\left(\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\right)

ponieważ dowolna kombinacja liniowa + stała wartość daje nam dalej rozkład normalny, więc możemy bezkarnie (nie martwiąc się o punkty nieciągłości dystrybuanty F_{Y}) różniczkować obie strony równości, bo takich punktów nieciągłości (punktów skoków) nie będzie...

f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}\left(y\right)=\frac{d}{dy}F_{X}\left(\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\right)=\text{pochodna funkcji }\cdot\text{pochodna funkcji wewnętrznej }=f_{X}\left(\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\right)\cdot\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}-2\right)^{2}}{2\cdot3}\right)\cdot\frac{1}{\frac{1}{3}}=
przekształcamy dalej:
=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}-2\right)^{2}}{2\cdot3}\right)\cdot\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(\frac{y}{\frac{1}{3}}+\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}-2\right)^{2}}{2\cdot3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(3\cdot y\right)^{2}}{2\cdot3}\right)=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-9\cdot y^{2}}{2\cdot3}\right)=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(y-0\right)^{2}}{2\cdot\frac{3}{9}}\right)=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(y-0\right)^{2}}{2\cdot\frac{1}{3}}\right)

z postaci otrzymanej gęstości widzimy, że:
Y\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{1}{3}\right)

ogólnie mamy:
X\sim\mathcal{N}\left(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}\right),Y\sim\mathcal{N}\left(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}\right)\Rightarrow aX+bY+c\sim\mathcal{N}\left(a\mu_{1}+b\cdot\mu_{2}+c,\left(a\cdot\sigma_{1}\right)^{2}+\left(b\cdot\sigma_{2}\right)^{2}\right)
u nas stosując ten wzór mielibyśmy:
X\sim\mathcal{N}\left(2,3\right)\Rightarrow\frac{1}{3}X-\frac{2}{3}\sim\mathcal{N}\left(\frac{1}{3}\cdot2-\frac{2}{3},\left(\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\right)^{2}\right)\equiv\mathcal{N}\left(0,\frac{1}{3}\right)

-- 26 maja 2009, 16:44 --

kuch2r, - szczerze mówiąc sam czasem zapominam o tym przez co się dzieli,więc nie ma się czym przejmować :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2009, o 21:36 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2303
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
oj tutaj, niestety sprawa nie jest tak oczywista jak ci sie wydaje...
jakis czas temu piszac prace na temat rozkladow sum niezależnych zmiennych losowych natknalem się na problem adnotacji, przyjetej konwencji co do oznaczania rozkładu normalnego poprzez symbol \mathcal{N}(\mu,\sigma) czy też \mathcal{N}(\mu,\sigma^2).
Przejrzałem w tym temacie kilka podrecznikow i tak naprawde ciezko znalezc jednolity głos.
Ponadto w trakcie rozmowy z moim promotorem wskazał na jeden sposób oznaczenia, a recezent ocenil ze drugi sposob jest poprawny.

oczywiscie dzieki za zwrocenie uwagi oraz podjecie dyskusji...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2009, o 22:02 
Użytkownik

Posty: 319
Lokalizacja: Warszawa
dla mnie wyznacznikiem jest strona:
http://mathworld.wolfram.com/NormalDistribution.html i do tej pory nie spotkalem sie z innym oznaczeniem..., chyba najlepszym wyjsciem jest napisanie np.:
\mathcal{N} \left( 2,\sqrt{3}^{2}\right)
wtedy nie ma watpliwosci :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 gęstość zmiennej losowej - zadanie 15  kielbasa  0
 Gęstość zmiennej losowej - zadanie 18  xxmonikaxx  2
 gęstość zmiennej losowej - zadanie 20  Karolina93  5
 Gęstość zmiennej losowej - zadanie 2  Bravo_555  0
 gestosc zmiennej losowej - zadanie 22  ewelinka_0402  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl