szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 maja 2009, o 19:11 
Użytkownik

Posty: 659
Lokalizacja: Strzyżów
Znaleźć rozwiązania równania x+y=x ^{2}-xy+y ^{2} w liczbach całkowitych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 maja 2009, o 19:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2685
Lokalizacja: Warszawa
2(x+y)=(x-y)^2 + x^2 + y^2 \\ 2=(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2
W szczególności gdyby (x-1) \ge 2, byśmy mieli sprzeczność, zatem: (x-1) \in \lbrace -1,0,1 \rbrace, czyli x \in \lbrace 0,1,2 \rbrace - wystarczy sprawdzić te 3 przypadki - w których z nich uzyskujemy rozwiązania całkowite, a w których nie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 maja 2009, o 20:55 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Chyba można też tak:
Zauważmy, że 0\le  x+y= (x+\frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4} y^2
3xy=(x+y)^2-(x+y) \quad  \Rightarrow \quad 3xy|x+y

Zatem
jeśli x=0 \vee y=0 to łatwo.
jeśli 0< 3xy \le x+y, to 1 \ge (3x-1)(3y-1)
a jeśli x<0<y, to -3xy \le x+y, czyli 1 \le (3x+1)(3y+1) ale pamiętając o tym, że x<0 nie mamy rozwiązań.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie w liczbach całkowitych - zadanie 6  darek20  5
 równanie w liczbach całkowitych - zadanie 8  theoldwest  6
 równanie w liczbach całkowitych - zadanie 10  davidd  3
 Równanie w liczbach całkowitych - zadanie 12  Anonymous  3
 Równanie w liczbach całkowitych - zadanie 13  klaudia34  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl