szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 cze 2009, o 22:37 
Użytkownik

Posty: 61
Udowodnij, że jeżeli w trójkącie ABC dowolny punkt wewnętrzny X połączymy z punktami A, B, C, to:

\frac{a+b+c}{2}<|XA|+|XB|+|XC|<a+b+c
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 cze 2009, o 22:41 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
Zaznacz ten punkt, poprowadź odcinki do wierzchołków, powstaną trzy trójkąty, skorzystaj z nierówności trójkąta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 cze 2009, o 00:37 
Użytkownik

Posty: 61
Cuduje na wszystkie możliwe sposoby:

Odkładam na przykład odcinek |BX| do odcinka |AX| i na mocy różnych twierdzeń, na przykład tego:

"Jeżeli dwa kąty trójkąta są różne to bok przeciwległy większemu kątowi jest dłuższy"

póki co nie mam żadnych efektów.

@Nakahed90

To właśnie zrobiłem na początku, jednakże te równości mi się pokrywają. Nie mam sposobu żeby odpowiednio je rozpisać aby zgadzały się z nierównościami podanymi w zadaniu.

Jakby ktoś mógł dać wskazówkę byłbym wdzięczny.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 cze 2009, o 00:47 
Użytkownik

Posty: 16230
|XA|=x\\
|XB|=y\\
|XC|=z

Lewa strona:

x+y>a\\
y+z>c\\
x+z>b

dodajemy stronami

2x+2y+2z>a+b+c \\
2(x+y+z)>a+b+c\\
 \frac{a+b+c}{2}<x+y+z

Prawa strona:

x+y<b+c\\
y+z<a+b\\
x+z<c+a

dodajemy stronami

2x+2y+2z<2a+2b+2c\\
2(x+y+z)<2(a+b+c)\\
x+y+z<a+b+c
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2011, o 17:36 
Użytkownik

Posty: 77
Lokalizacja: W-wa
anna_ napisał(a):
Prawa strona:

[tex]x+y<b+c\\
y+z<a+b\\
x+z<c+a

dodajemy stronami

2x+2y+2z<2a+2b+2c\\
2(x+y+z)<2(a+b+c)\\
x+y+z<a+b+c


nie bardzo rozumiem, skąd x+y<b+c i tak dalej te trzy równania. Z nierówności trójkąta wynia tylko, że dwa boki są większe od trzeciego, to skąd jest ten czwarty? przecież np. b i c nie tworzą jednego boku...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2011, o 18:03 
Użytkownik

Posty: 197
Lokalizacja: Internet
Nie chce mi się bawić w te oznaczenia z małymi literkami, dlatego:
Niech dowolnym punktem wewnątrz trójkąta ABC będzie punkt X. Niech prosta BX przecina prostą AC w punkcie N, wówczas:
BX+CX<BX+XN+CN=BN+CN<AB+AN+CN=AB+AC. Analogicznie reszta nierówności.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Punkt wewnątrz trójkąta.  wbb  1
 Oblicz długość wysokości trójkąta równoramiennego, jeśli ...  Konikov  4
 Obliczanie pola i obwodu trójkąta  marlena6666  2
 środkowa trójkąta z nieznanego wzoru  falas  2
 pole trójkąta, okręgi wpisane i opisane na trójkącie  Asait  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl