szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2006, o 02:10 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Sosnowiec
Męczyłem się z tym trochę, ale czas się poddać, choć wiem że nigdy to godne nie jest:... n^5 - n podzielne przez 30, rozłożyłem to klasycznie po n= k+1 na k(k+1)(k+2)(k^2 + 2k +2) i stercze nieporadnie. Proszę was o pomoc :(
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2006, o 10:05 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Gliwice
Witam !!!

Myślę, że można ten dowód przeprowadzić w następujący sposób:

1^0:\quad \forall\limits_{n\in\mathbb{N}} 30|n^5-n,

więc dla n=1 również jest spełnione (co po podstawieniu okazuje się prawdą, albowiem 30|0 - zapis ten oznacza, że 30 dzieli 0 bez reszty).

2^0:\quad\mbox{\rm Zalozenie indukcyjne:}\quad \forall\limits_{k\in\mathbb{N}}\exists\limits_{a\in\mathbb{Z}} 30a=k^5-k

3^0:\quad\mbox{\rm Teza indukcyjna:}\quad\forall\limits_{k\in\mathbb{N}}\exists\limits_{b\in\mathbb{Z}} 30b=(k+1)^5-(k+1)

Dowód:
(k+1)^5-(k+1)=30b
k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k-k=30b
k^5-k+5k(k+1)(k^2+k+1)=30b

Korzystamy z założenia indukcyjnego:
30a+5k(k+1)(k^2+k+1)=30b
5k(k+1)(k^2+k+1)=30(b-a)

Niech teraz b-a=c, mamy wtedy
5k(k+1)(k^2+k+1)=30c,
czyli liczba ta jest podzielna przez 30.

Zatem pokazaliśmy, że na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej powyższy wzór jest prawdziwy dla każdego n\in\mathbb{N}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2006, o 01:06 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Sosnowiec
Znaczy się że nie tak źle myślałem jak tam myślałem :) Ahhhh...cały urok matematyki. Widzę, rozumiem i bardzo dziekuje !!!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2006, o 23:33 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: rzeszów
czy na pewno można rozpatrywać n=1 ??? wszak nie można dzielić przez 0...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2006, o 23:54 
Użytkownik

Posty: 735
Lokalizacja: Łódź
ja_czyli_kluska napisał(a):
czy na pewno można rozpatrywać n=1 ??? wszak nie można dzielić przez 0...


ale można dzielić 0 przez inne liczby...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 mar 2006, o 00:30 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: rzeszów
aaaaAAAaaaa... fucktycznie. sory. pomieszało mi się.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2010, o 17:04 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: polska
Sorry że odgrzewam kotleta, ale mam problem z identycznym zadaniem i mam wątpliwości co do tego czy zaproponowane tu rozwiązanie indukcyjne jest poprawne. No bo skąd wiadomo że Obrazek jest prawdziwe. Chyba trzeba "udowodnić" że to co wyszło też jest podzielne przez 30, a nie na tym opierać dowód indukcji ; P Czy mam racje? Jeśli tak to czy ktoś ma pomysł jak to rozwiązać?
Po rozpisaniu tego na czynniki pierwsze dostajemy:
n^5 - n = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)
Pierwsze trzy czynniki to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych i wiem że jest podzielny przez 6. Pozostaje więc tylko udowodnić, że całość jest podzielna przez 5 (5 * 6 = 30), na co niestety nie mam pomysłu. Próbowałem indukcyjnie ale mi nie wychodzi ;/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2010, o 17:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2910
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Ogólnie w takich przykładach możesz skorzystać z Małego Twierdzenia Fermata, i nic nie musisz udowadniać, tylko dodać komentarz słowny :D Co do tego co napisałeś na początku postu, to przecież sprawdzamy tezę dla n=1 (albo innego, jak mamy napisane w treści) i jeżeli się zgadza, to robimy założenie indukcyjne, które jest prawdziwe dla pewnego n, a następnie korzystając z założenia udowadniamy tezę dla n+1

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2010, o 17:36 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: polska
Ok, twierdzenie fermata rozwiązuje sprawę, dzięki wielkie. Ale wracając do indukcji, dochodze do pewnego momentu i nie mogę ruszyć dalej:
Obrazek
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij podzielność przez 30 - zadanie 2  Max915  1
 Udowodnij przez indukcję - zadanie 9  angelst  1
 Udowodnij wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego.  Rohamos  1
 Udowodnij równość - zadanie 7  Lucjusz  3
 Sumy wyznaczane przez idukcję. - zadanie 2  olga523  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl