szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 cze 2009, o 13:23 
Użytkownik

Posty: 2
Witam
Mam problem z zadaniem:
Liczba naturalna n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, a przy dzieleniu przez 7 resztę 5. Wyznacz resztę z dzielenia z tej liczby przez 21.
Mógłby ktoś pomóc?? Z góry dziękuję...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 cze 2009, o 13:29 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
Zadanie można rozwiązać albo "na palcach" albo z wykorzystaniem chińskiego twierdzenia o resztach.

"Na palcach":
Skoro mowa o reszcie z dzielenia, to wystarczy rozpatrywać jako możliwe odpowiedzi liczby całkowite między 0 i 20.

No to - skoro dzieląc przez 3 otrzymujemy 2, to szukana liczba jest postaci 3k+2, więc może nią być tylko jedna z następujących: 2,5,8,11,14,17,20

Ponieważ dodatkowo jest ona postaci 7l+5, to znaczy, że jest to jedna z liczb 5,12,19

Widać zatem, że chodzi o liczbę 5.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 wrz 2012, o 14:52 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Tarnów
Wiem, że temat jest założony dość dawno, ale może się przydać wielu osobom, bo to dość znany typ zadania. Ja przedstawię nieco inne rozwiązanie.

Zapiszmy:
n = 3k + 2
n = 7l + 5 gdzie k, l \in \mathbb{N}

Postaramy się doprowadzić ten układ równań do postaci
n = 21c + r gdzie c \in \mathbb{Z}, r to szukana reszta
Oczywiście należy pamiętać, że 0 \le r < 21

Zauważmy, że gdy pomnożymy pierwsze równanie przez 7, a drugie przez 3
7n = 21k + 14\\
3n = 21l + 15
a następnie odejmiemy stronami, uzyskamy takie wyrażenie:
4n = 21(k-l) - 1

Wygląda prawie tak, jak chcemy, jednak L=4n zamiast L=n. Jednak podobny efekt uzyskamy, mnożąc I równanie przez dowolną wielokrotność 7, a II przez dowolną wielokrotność 3. Poszukajmy więc takich wielokrotności, aby po wymnożeniu i odjęciu stronami L=n. Tak jest w przypadku mnożenia przez odpowiednio 7 i 2 \cdot 3:
7n = 21 \cdot k + 14\\
6n = 21 \cdot 2l + 30
Odejmujemy stronami:
n = 21(k-2l) -16
Reszta musi być dodatnia, więc:
n = 21(k-2l) -16 + 21 - 21\\
n = 21(k-2l-1) + 5

Poszukiwaną resztą jest zatem 5 ;).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykaż, że liczba jest podzielna przez 10  pawel6582  5
 wykaż ze liczba jest całkowita - zadanie 2  walistopa  1
 podzielność przez każda liczbę naturalną dodatnią  janko2  1
 Liczba calkowita  rafal__1992  1
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez...  CarolinUcha  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl