szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 cze 2009, o 15:01 
Użytkownik

Posty: 249
Lokalizacja: Syberia
Witam, mam problem z takim zadaniem:

W trójkącie ABC na bokach AB, BC i CA obrano takie punkty odpowiednio M, K i L, że odcinki AK, BL i CM przecinają się w jednym punkcie. Prosta przechodząca przez punkt M i równoległa do prostej KL przecina prostą BC w punkcie Q, a prostą AK w punkcie R. Wyznacz stosunek \frac{|MQ|}{|MR|}.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 cze 2009, o 09:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 139
Lokalizacja: Kutno
Punktem wspólny prostych AK, BL i CM może być punkt przecięcia się dwusiecznych, środkowych, wysokości. Trzeba rozpatrzyć każdy przypadek.
a) środkowe
Trójkąt CKL jest podobny do trójkąta CBA w skali 2, więc prosta KL jest równoległa do prostej AB. Z tego wynika, że punkt R pokrywa się z punktem A, a punkt Q pokrywa się z punktem B. Punkt M jako że należy do środkowej CM dzieli odcinek RQ na dwie równe części. Tak więc MQ/MR=1
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 cze 2009, o 11:33 
Użytkownik

Posty: 16237
Nixur napisał(a):
Punktem wspólny prostych AK, BL i CM może być punkt przecięcia się dwusiecznych, środkowych, wysokości. Trzeba rozpatrzyć każdy przypadek.


Nie masz racji. Punktem wspólnym nie musi być punkt przecięcia się wymienionych przez Ciebie odcinków. Może to być całkiem dowolny punkt leżący wewnątrz trójkąta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 cze 2009, o 11:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 139
Lokalizacja: Kutno
Racja, dzięki ;)
Swoją drogą próbowałem wyliczyć ten stosunek jeśli te proste są wysokościami lub dwusiecznymi, lecz mi się nie udało. Mógłby ktoś rozwiązać w tych przypadkach to zadanie?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 cze 2009, o 12:53 
Użytkownik

Posty: 16237
Wysokości i dwusieczne to przypadki szczególne.

Obrazek

Poprowadziłam sobie prostą równoległą do RB i przechodzącą przez Q, niestety nie mam pomysłu jak udowodnić, że czworokąt EQBR jest równoległobokiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2009, o 21:22 
Użytkownik

Posty: 249
Lokalizacja: Syberia
Wiem, że w tym zadaniu trzeba skorzystać z tw. Talesa i Menelaosa, tylko nie wiem, w których trójkątach i dla jakich punktów. Może macie na to jakiś pomysł?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2012, o 23:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2910
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Obrazek

Udowodnimy, że dany stosunek wynosi 1. Jeżeli prosta KL jest równoległa do AB teza jest oczywista (wówczas A=R , Q=B, ABKL jest trapezem i istotnie M jest środkiem |AB|), załóżmy więc, że dane proste nie są równoległe. Niech więc KL tnie prostą AB w punkcie E. Zauważmy, że z twierdzenia Menelaosa w trójkącie \triangle RKQ otrzymujemy:

|AR|\cdot |BK|\cdot |QM| = |RM|\cdot |QB|\cdot |AK|

Więc wystarczy pokazać, że |AR|\cdot |BK| = |QB|\cdot |AK| \iff \frac{|AR|}{|AK|} = \frac{|BQ|}{|BK|}

Ale \frac{|AR|}{|AK|} = \frac{|AM|}{|AE|} oraz \frac{|BQ|}{|BK|} = \frac{|BM|}{|BE|}

Więc mamy pokazać \frac{|AM|}{|AE|} = \frac{|BM|}{|BE|}

Zauważmy, że z twierdzenia Menelaosa w trójkącie \triangle ABC otrzymujemy |AL|\cdot |CK|\cdot |BE| = |AE|\cdot |BK|\cdot |CL|

Jednak \frac{|BM|}{|BE|} = \frac{|BQ|}{|BK|} \iff |BK| = \frac{|BQ|\cdot |BE|}{|BM|}, więc:

|AL|\cdot |CK|\cdot |BE| = |AE|\cdot |CL| \cdot \frac{|BQ|\cdot |BE|}{|BM|} \iff |AL|\cdot |CK|\cdot |BM| = |AE|\cdot |CL|\cdot |BQ|

Ale proste AK, BL, CM są współpękowe, więc z twierdzenia Cevy otrzymujemy:

\frac{|AM|}{|MB|}\cdot \frac{|BK|}{|CK|} \cdot \frac{|CL|}{|AL|}=1 \iff |AM|\cdot |BK|\cdot |CL| = |AL|\cdot |CK|\cdot |BM| = |AE|\cdot |CL|\cdot |BQ| \\ \\ \iff \\ \\ |AM|\cdot |BK| = |AE|\cdot |BQ| \iff \frac{|AM|}{|AE|} = \frac{|BQ|}{|BK|} = \frac{|BM|}{|BE|}

\mathbb{QED}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2012, o 23:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1403
Lokalizacja: Katowice
-1=(A,B;M,E)=(R,Q;M,\infty)\implies RM=MQ
dwustosunek rulez
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Proste w trójkącie - zadanie 2  slonko2  4
 Środkowe w trójkącie - zadanie 12  majkyl76  3
 Zadanka - proste ;) [obwod t. równoramiennego]  anyone1  2
 Opisany i wpisany promień w trójkącie  Victor  8
 Okrąg opisany na trójkącie - zadanie 49  FlowerKaty  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl