szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2009, o 16:22 
Użytkownik

Posty: 127
Lokalizacja: krakow
57|7^{15}-1\\
7^{15}-1=(7^5-1)(7^{10}+7^5+1)
Drugi nawias jest podzielny przez 57, ale jak to pokazać? Kongruencja na pewno załatwiłaby sprawę, ale to 57 nie wróży przyjemnych rachunków, więc przypuszczam że można zrobić to mniejszym nakładem pracy.
Z góry dziękuję za pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2009, o 16:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2303
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Zauważ, że 57=3\cdot 19
Zatem wystarczy wykazać 3|7^{15}-1 \quad \wedge \quad 19|7^{15}-1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2009, o 16:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 996
Lokalizacja: Tychy/Kraków
zrobiłeś błąd we wzorze skróconego mnożenia:
57|7^{15}-1=(7^5-1)(7^{10}+7^5+1)
teraz w pierwszym nawiasie masz liczbę 7 ^{5} -1=16806, która od razu widać że jest podzielna przez 3 (suma cyfr) więc całe wyrażenie też. pozostaje pokazać podzielność przez 19. Można np. indukcją: wykażemy, że dla każdego n naturalnego 19|7 ^{3n}
Dla n=1:
7^{3}-1=342=19\cdot 18
teraz załóżmy, że dla ustalonego k istnieje takie t, że 7 ^{3k}-1=19t
i przechodzimy do tezy indukcyjnej:
\vee t _{2}: 7 ^{3(k+1)}-1=19t _{2}\\
7 ^{3(k+1)}-1=7 ^{3}\cdot 7 ^{3k}-1=7 ^{3} \cdot (7 ^{3k} -1)+7 ^{3}-1=7 ^{3} \cdot19 t+342=19(7 ^{3}t+18)
mam nadzieję że zapis jest jasny. w Twoim zadaniu pokazujemy po prostu powyższą własność dla n=5.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2009, o 17:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 370
Lokalizacja: Przemyśl/Kraków
Chyba najłatwiejszy sposób:
7^{15}-1=( 7^{3} )^{5} - 1 = (7^{3} -1)((7^{3})^{4} + (7^{3})^{3} + (7^{3})^{2} + (7^{3})^{1} + 1)= \\
= (343-1)((7^{3})^{4} + (7^{3})^{3} + (7^{3})^{2} + (7^{3})^{1} + 1)= \\ 
= 6 \cdot 57 \cdot ((7^{3})^{4} + (7^{3})^{3} + (7^{3})^{2} + (7^{3})^{1} + 1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2009, o 17:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 996
Lokalizacja: Tychy/Kraków
no racja Psycho, ja trochę przedobrzyłem :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2009, o 18:15 
Użytkownik

Posty: 127
Lokalizacja: krakow
Racja, oczywiście zabrakło mi minus jedynki w pierwszym nawiasie. Co do reszty, z niewiadomych przyczyn doszedłem do co najmniej dziwnego wniosku, że 57 to liczba pierwsza :oops: Teraz wszystko jasne, przepraszam, że marnuję czas takimi pytaniami...
Dziękuję i pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 641  kluczyk  1
 Udowodnij, ze ... daje przy dzieleniu przez 8 reszte 1 - zadanie 2  Kisioj  1
 Podzielnosc Licz i Liczby Pierwsze, Udowodnij...  Mefi  4
 Zadanie z podzielnością przez 7  uzi3  4
 Pokazać, podzielność przez 11*31  adam01s  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl