szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2009, o 22:39 
Użytkownik

Posty: 1659
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
sposób na podnoszenie liczby o cyfrze jedności 5 do kwadratu:
1235^2=123*124*100+25
995^2=990025

teza: (10x+5)^2=100x*(x+1)+25
dowód (algebraiczny):100x^2+100x+25=100x^2+100x+25
0=0 otrzymujemy tożsamość. Czy ktoś może udowodnić tą samą tezę indukcyjnie dla x \ge 1
Góra
PostNapisane: 15 lip 2009, o 22:46 
Użytkownik
rodzyn7773 napisał(a):
Czy ktoś może udowodnić tą samą tezę indukcyjnie dla x \ge 1


Indukcja tyczy się liczb naturalnych kolego...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2009, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 1659
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
wiem, że indukcja tyczy się liczb naturalnych i oto mi chodzi
zauważ że jeżeli a, b ..., y, z należą do naturalnych to liczba abc...xyz=10*abc...xy + z
za abc...xy podstawiłem X, które również należy do naturalnych
Góra
PostNapisane: 15 lip 2009, o 23:07 
Użytkownik
No trochę nie widzę. Najlepiej zrób tak. Napisz tutaj swoją aktualną tezę i wszystkie założenia. Razem z tymi literkami które teraz wypisałeś.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2009, o 09:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 60
dla x=1

(10 \cdot 1+5) ^{2}=225=100 \cdot2+25

Z: (10k+5) ^{2} =100k(k+1)+25

T:(10(k+1)+5) ^{2} =100(k+1)(k+2)+25

(10+10k+5) ^{2} =100k(k+1)k+25+2 \cdot 100(k+1) 

100+2 \cdot 10 \cdot(10k+5)+(10k+5) ^{2} =100k(k+1)+25+2 \cdot 100 (k+1)
Korzystamy z założenia:
100+2 \cdot 100k+100=2 \cdot 100(k+1)
Mamy tożsamość.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2009, o 10:04 
Użytkownik

Posty: 1659
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
spójrz na przykładzie jak mam liczbę y= 1235 to można ją zapisać jako 123*10+5 i ta moja liczba x=123 w tym przypadku. nie mogę za x podać liczby rzeczywistej bo np. x=12,5 \Rightarrow y=130 a ja chcę, aby y była naturalna i zakończona cyfrą 5
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2009, o 15:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Panowie! Po co dowód indukcyjny?
Wzór skróconego mnożenia:
(10 \cdot x+5) ^{2}=100x^2 +2 \cdot 10x \cdot 5 + 25=\\
100x^2 +100x + 25= 100x(x+1) +25

Co kończy dowód :mrgreen:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2009, o 23:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2156
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Niespecjalnie zabłysnąłeś, w pierwszym poście autor napisał dowód algebraiczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2009, o 00:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
czeslaw napisał(a):
Niespecjalnie zabłysnąłeś, w pierwszym poście autor napisał dowód algebraiczny.

Ups. Nie doczytałem końcówki pierwszego wpisu.

Uważam że dowodzenie czegoś indukcyjnie co wynika bezpośrednio ZE WZORU SKRÓCONEGO MNOŻENIA jest sztuką dla sztuki (subiektywnie oceniam że trochę bezsensowną) chociażby z tego względu, że z mojego wcześniejszego wpisu wynika, iż jest to prawda dla wszystkich x rzeczywistych. Natomiast jak wspomniał Miodzio indukcja dotyczy liczb naturalnych (lub czasem pewnego podzbioru np.: n>3) czyli w tym przypadku pewnego podzbioru R.
Przecież w tym przypadku nie trzeba posiłkować się żadnym założeniem indukcyjnym tylko przekształcić lewą stronę tezy w jej prawą stronę, stosując wzór skróconego mnożenia (no chyba nikt mi nie zabroni w dowodzie indukcyjnym stosować powszechnie znanych praw matematycznych).

T:(10(k+1)+5) ^{2} =100(k+1)(k+2)+25\\
L=(10(k+1)+5) ^{2}=(10k+15) ^{2}=100k^2+300k+225=\\100k^2+100k+25+200k+200=
Pierwsze trzy składniki sumy można oczywiście zwinąć w (10k+5)^2 by skorzystać z założenia, aby wstawić w to miejsce dokładnie trzy te same składniki, więc jak widać założenie indukcyjne jest niepotrzebne.
=100k^2+100k+25+200k+200=100(k^2+3k+2)+25=100(k+1)(k+2)+25

Ewentualnie pod indukcję dałoby się sprowadzić stwierdzenie: Dla każdego k naturalnego liczba postaci 10k+5 podniesiona do kwadratu ma postać 100s+25 dla pewnego s naturalnego.
Aczkolwiek dowód indukcyjny w tym przypadku jest raczej ćwiczeniem szkoleniowym dla osób stawiających pierwsze kroki w tej materii.
Można oczywiście również rozwinąć temat jeśli chodzi o podnoszenie do dowolnej naturalnej potęgi liczby postaci 10k+5
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2009, o 09:59 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7838
Lokalizacja: Wrocław
Inkwizytor napisał(a):

T:(10(k+1)+5) ^{2} =100(k+1)(k+2)+25\\
L=(10(k+1)+5) ^{2}=(10k+15) ^{2}=100n^2+300n+225=\\100n^2+100n+25+200n+200=
Pierwsze trzy składniki sumy można oczywiście zwinąć w (10k+5)^2 by skorzystać z założenia, aby wstawić w to miejsce dokładnie trzy te same składniki, więc jak widać założenie indukcyjne jest niepotrzebne.
=100n^2+100n+25+200n+200=100(n^2+3n+2)+25=100(k+1)(k+2)+25


Dosyć swobodnie zmieniasz sobie liczby k oraz n ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2009, o 01:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Dasio11 napisał(a):
Dosyć swobodnie zmieniasz sobie liczby k oraz n ;)



oops :oops: Juz poprawiam :P Faktycznie bez sensu było. Pisałem na raty i korzystałem z luźnych kartek, w których miałem dosyc swobodne zapiski ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja matematyczna - podzielność liczby  Effi  3
 Najmniejsza wspólna wielokrotność-dowód.  hUmanitO  8
 Przeprowadź dowód indukcyjny nierówności  Anonymous  15
 Dowód indykcyjny permutacji bez powtózeń  noiprox  3
 Dowod indukcyhjny nierownosci.  pavlo4  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl