szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2009, o 07:25 
Użytkownik

Posty: 124
Lokalizacja: Znikąd
Udowodnij, że jeżeli w trójkącie o bokach a,b,c zachodzi równość

2*(a ^{8} +b ^{8} +c ^{8}) =(a ^{4} +b ^{4} +c ^{4} ) ^{2}

to trójkąt ten jest prostokątny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2009, o 09:39 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7440
Lokalizacja: Wrocław
Podstawmy dla ułatwienia:

x=a^4 \\
y=b^4 \\
z=c^4

Mamy:

2 \cdot (x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2 \\
2 \cdot (x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz \\
x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2xz \\
x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2xz=4xy \\
(x+y-z)^2=4xy \\

Podstawiamy z powrotem:

(a^4+b^4-c^4)^2=4a^4b^4 \\
\\
I. \ \ a^4+b^4-c^4=2a^2b^2 \\
a^4-2a^2b^2+b^4=c^4   \\
(a^2-b^2)^2=(c^2)^2  \\
a^2-b^2=c^2 \\
a^2=b^2+c^2 \\
\\
II. \ \ a^4+b^4-c^4=2a^2b^2 \\
a^4-2a^2b^2+b^4=c^4   \\
(a^2-b^2)^2=(c^2)^2  \\
a^2-b^2=-c^2 \\
a^2+c^2=b^2 \\
\\
III. \ \ a^4+b^4-c^4=-2a^2b^2 \\
a^4+2a^2b^2+b^4=c^4 \\
(a^2+b^2)^2=(c^2)^2 \\
a^2+b^2=c^2

I z twierdzenia Pitagorasa mamy tożsamość.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2009, o 10:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4974
Lokalizacja: Lozanna
Dasio11 napisał(a):
Podstawmy dla ułatwienia:

x=a^4 \\
y=b^4 \\
z=c^4

Mamy:

2 \cdot (x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2 \\
2 \cdot (x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz \\
x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2xz \\
x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2xz=4xy \\
(x+y-z)^2=4xy \\

Podstawiamy z powrotem:

(a^4+b^4-c^4)^2=4a^4b^4 \\
\\
I. \ \ a^4+b^4-c^4=2a^2b^2 \\
a^4-2a^2b^2+b^4=c^4   \\
(a^2-b^2)^2=(c^2)^2  \\
a^2-b^2=c^2 \\
a^2=b^2+c^2 \\
\\
II. \ \ a^4+b^4-c^4=2a^2b^2 \\
a^4-2a^2b^2+b^4=c^4   \\
(a^2-b^2)^2=(c^2)^2  \\
a^2-b^2=-c^2 \\
a^2+c^2=b^2 \\
\\
III. \ \ a^4+b^4-c^4=-2a^2b^2 \\
a^4+2a^2b^2+b^4=c^4 \\
(a^2+b^2)^2=(c^2)^2 \\
a^2+b^2=c^2

I z twierdzenia Pitagorasa mamy tożsamość.


nie, nie korzystamy tu z tw. Pitagorasa tylko z twierdzenia odwrotnego do tw. Pitagorasa. (jeśli dla boków trójkąta a,b,c zachodzi a^2+b^2=c^2 to ten trójkąt jest prostokątny). To typowy błąd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2009, o 10:55 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7440
Lokalizacja: Wrocław
Eee, nazewnictwo ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 kwi 2011, o 14:33 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Olsztyn
Dasio11 napisał(a):
2 \cdot (x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2 \\
2 \cdot (x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz \\
x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2xz \\
x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2xz=4xy \\
(x+y-z)^2=4xy \\


Skąd się wzięło to cudo?
x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2xz=4xy \\
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 kwi 2011, o 14:48 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7440
Lokalizacja: Wrocław
W poprzedniej linijce po prawej stronie zostawiamy 4xy a resztę przenosimy na lewą i tyle wychodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 kwi 2011, o 14:59 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Olsztyn
Dasio11 napisał(a):
W poprzedniej linijce po prawej stronie zostawiamy 4xy a resztę przenosimy na lewą i tyle wychodzi.


Przepraszam, ale w poprzedniej linijce to widzę:
x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2xz \\

I jak przeniosę resztę na lewą stronę to po prawej nic nie zostaje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 kwi 2011, o 15:02 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7440
Lokalizacja: Wrocław
Od linijki:

x^2+y^2+z^2 = 2xy + 2yz + 2zx

odejmij stronami wyrażenie 2yz+2zx-2xy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 kwi 2011, o 16:28 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Olsztyn
Ech, głupio mi, ale nie rozumiem tego. Nadal nie wiem jak z tego:
x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2xz \\
Powstało:
x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2xz=4xy \\

Jestem już trochę zmęczony, bowiem od 12 siedzę z zadaniami typu wykaż, więc prosiłbym o rozwiązanie krok po kroczku jeśli się da. Dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2011, o 16:40 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7440
Lokalizacja: Wrocław
x^2 + y^2 + z^2 = 2xy + 2yz + 2zx \qquad \quad \; \; \; \bigg| \ +2xy \\ 
x^2 + y^2 + z^2 + 2xy = 4xy + 2yz + 2zx \quad \bigg| \ -2yz \\ 
x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2yz = 4xy + 2zx \quad \bigg| \ -2zx \\ 
x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2yz - 2zx = 4xy \quad

Nie wiem, jak można to prościej ująć...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zwiazki miarowe w trójkacie - twierdzenie sinusow  kredka1  2
 Wykaż, że jeżeli boki i promień....  Who knew  1
 Dwusieczne kąta w trójkącie  kenser  6
 Środkowa i wysokość w trójkącie prostokątnym  jismena  1
 Kąty w trójkącie - zadanie 2  mateusz1511  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl