szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2009, o 17:41 
Użytkownik

Posty: 14
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna posiadająca 100 różnych dzielników??

Ps. Gdy szukałem liczby o 64 dzielnikach dostałem wzór 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1 na tą liczbę.Czy mógłby mi ktoś to wytłumaczyć (skąd się wzięły akurat te liczby) na tym lub przykładzie na obecnie szukaną liczbę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2009, o 20:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
Bierzesz wykładniki przy kolejnych potęgach i zawsze w możliwie najwyższej, potem podstawiasz pod wzór na liczbę dzielików: (1+a{1})(1+a_{2}).....(1+a_{n})
Gdzie a_{n} to n-ty wykładnik.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2009, o 06:25 
Użytkownik

Posty: 14
Nie rozumiem za bardzo. Pokaż m to na tym przykładzie na te 100 dzielników może porównując to do tego co wiem zrozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2009, o 14:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
Na przykład 100 dzielników ma liczba 2^{99} bo 1+99=100
Inne liczby: 2^{49} \cdot 3 bo (1+49)(1+1)=100
2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5 \cdot 7 bo (1+4)(1+4)(1+1)(1+1)=100
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2009, o 14:40 
Użytkownik

Posty: 14
Jeśli dobrze zrozumiałem to liczba mająca 400 różnych dzielników to 2^{399} lub 2^{199} \cdot  3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2009, o 16:14 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7480
Lokalizacja: Wrocław
Artist podał prawdopodobnie najmniejszą taką liczbę, bo 100=2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5.
2^{24} nie ma sensu używać, bo już ten czynnik jest zbyt duży - najrozsądniej będzie użyć czwartej potęgi na dwóch najmniejszych liczbach pierwszych, potem pierwszej na dwóch większych liczbach pierwszych - patrz wyrażanie Artista.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2009, o 16:59 
Użytkownik

Posty: 14
2^{4} * 3^{4} *5*7-tak więc to jest rozwiązaniem mojego problemu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2009, o 08:17 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Tobieszyce
Artist napisał(a):
Bierzesz wykładniki przy kolejnych potęgach i zawsze w możliwie najwyższej, potem podstawiasz pod wzór na liczbę dzielików: (1+a{1})(1+a_{2}).....(1+a_{n})
Gdzie a_{n} to n-ty wykładnik.

Zaciekawił mnie ten temat. Czy mógłby mi ktoś to jeszcze prościej wytłumaczyć (ten wzór i co i dlaczego pod niego podstawiasz itd.(jak dla idioty bym to nazwał)).NO i reszte tych obliczeń.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2009, o 09:47 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7480
Lokalizacja: Wrocław
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline
5 & 10 & 20 & 40 \\ \hline
25 & 50 & 100 & 200 \\ \hline
\end{tabular}

Wyżej podane są dzielniki liczby 200.
200=2^3 \cdot 5^2
Jak widać w tabeli, "składową piątkową" dzielnika może być zerowa, pierwsza i druga potęga, zaś "składową dwójkową" - zerowa, pierwsza, druga, trzecia. Dlatego mnożymy przez siebie potęgi, do których trzeba podnieść liczby pierwsze w rozkładzie danej liczby na czynniki, powiększone o jeden, bo zerowa potęga też się liczy. Gdybyśmy wzięli liczbę 60=2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1, moglibyśmy narysować prostopadłościan (taki jak tabelka, tylko że w 3 wymiarach) i wtedy mnożylibyśmy (2+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1)=12 dzielników.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2009, o 09:56 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Tobieszyce
Teraz to już całkiem tego nie rozumiem.
Wytłumacz mi to na tym przykładzie na 100 dzielników.Będę miał jakieś odniesienie(pierwsze tłumaczenie).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2009, o 13:02 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7480
Lokalizacja: Wrocław
Przede wszystkim, każdą liczbę możemy przedstawić jako iloczyn potęg kolejnych liczb pierwszych na jeden i tylko jeden sposób. Wprowadźmy sobie pojęcie "składowa p-owa" liczby n (gdzie p jest liczbą pierwszą), oznaczające taką liczbę k, że n=p^k \cdot R, przy czym R jest całkowite i nie dzieli się przez p. Składową p-ową liczby n zapiszmy jako s_p(n).

Na przykład:
Składowa trójkowa liczby 45 (s_3(45)) to 2, bo 45=3^2 \cdot 5.

Teraz, jeżeli liczba składowa p-owa liczby n to k, to składowa p-owa dzielnika liczby n jest mniejsza lub równa k dla każdej liczby p.

Przykładowo:
Liczba 24 nie jest dzielnikiem liczby 300, bo 1=s_3(24) \le s_3(300)=1 (spełnia warunek), ale 3=s_2(24) > s_2(300)=2 (nie spełnia warunku).

Składowe danej liczby nie zależą od siebie, czyli składowa trójkowa danej liczby nie wpływa na jej składową siódemkową lub jedenastkową. W takim razie ilość dzielników danej liczby to ilość możliwości "złożenia" składowych ze sobą. Jeżeli n=5^a \cdot 7^b \cdot 13^c, to dzielniki mogą mieć składowe: piątkowe - od 0 do a, siódemkowe - od 0 do b, trzynastkowe - od 0 do c. Daje to (a+1)(b+1)(c+1) możliwości, bo na każdą z a+1 możliwości wyboru piątkowej składowej przypada b+1 możliwości wyboru siódemkowej składowej i na to wszystko c+1 opcji wyboru składowej trzynastkowej.

Przykład:
Ile dzielników ma liczba 114 \ 048?
114 \ 048=2^{\textcolor{red}{7}} \cdot 3^{\textcolor{green}{4}} \cdot 11^{\textcolor{blue}{1}}
Zatem liczba dzielników tej liczby to ({\textcolor{red}{7}+1)({\textcolor{green}{4}+1)({\textcolor{blue}{1}+1)=80

Na koniec jeszcze raz pokażę tabelkę, bo jest bardzo obrazowa.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline
5 & 10 & 20 & 40 \\ \hline
25 & 50 & 100 & 200 \\ \hline
\end{tabular} = \large \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
2^0 \cdot 5^0 & 2^1 \cdot 5^0 & 2^2 \cdot 5^0 & 2^3 \cdot 5^0 \\ \hline
2^0 \cdot 5^1 & 2^1 \cdot 5^1 & 2^2 \cdot 5^1 & 2^3 \cdot 5^1 \\ \hline
2^0 \cdot 5^2 & 2^1 \cdot 5^2 & 2^2 \cdot 5^2 & 2^{\textcolor{orange}{3}} \cdot 5^{\textcolor{violet}{2}} \\ \hline
\end{tabular} \Rightarrow


\Rightarrow \text{liczba dzielnikow} \ 200=(\textcolor{violet}{2}+1)(\textcolor{orange}{3}+1)=12
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2009, o 16:15 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: L.A.
Dasio11 napisał(a):
...to dzielniki mogą mieć składowe: piątkowe - od 0 do a, siódemkowe - od 0 do b

chyba od 1 do a etc., bo dzielenie przez zero = fatal error
ale pewnie i tak się mylę :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2009, o 16:26 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7480
Lokalizacja: Wrocław
A czytałeś, co to są składowe? ^^ Jeżeli składowa piątkowa wynosi 0, to znaczy że liczba dzieli się przez 5^0=1, ale nie dzieli się przez 5^{0+1}=5. Podnoszenie do zerowej potęgi \neq fatal error ;p
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 potęgowanie - liczba cyfr, ostatnie cyfry  anggelika  7
 Czy liczba jest całkowita  seti  9
 Wykaż, że liczba  Gokusek  3
 Znalezienie ilości dzielników danej liczby.  dziubo1  2
 liczba nieparzystych dzielników  justyna0811  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl