szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2009, o 17:10 
Użytkownik

Posty: 113
"Funkcja f określona jest wzorem f(x) = \frac{8x}{x^2 +1}.
a) Wykaż, że funkcja jest nieparzysta.
b) Wykaż (z definicji), że funkcja w przedziale \left( 1; + \infty \right) jest malejąca.
c) Wykaż, że funkcja f nie przyjmuje wartości większych od 4.
"

Poproszę o sprawdzenie a) i c), a przy b) o małą pomoc:

a)) f(x) = -f(-x) funkcja nieparzysta
-f(-x) = - \left( \frac{8(-x)}{(-x)^2 + 1}\right) =  \frac{(-1) \cdot (-8x)}{x^2 + 1} = \frac{8x}{x^2 +1} = f(x) c.n.d.

b)) Z tym mam mały problem...
x_1 < x_2  \Leftrightarrow f(x_1) > f(x_2) funkcja malejąca
f(x_1) - f(x_2) > 0  \Rightarrow \frac{8x_1}{x_1^2 +1} - \frac{8x_2}{x_2^2 +1} > 0
I jak to rozpisuję to właściwie za wiele nie wynika, a robi mi się jakaś "zupa" iloczynowa z x1 i x2

c)) f(x) > 4 brak rozwiązań
f(x) = \frac{8x}{x^2 +1} > 4
wymnażam obie strony przez mianownik (który zawsze przyjmuje wartość dodatnią, dlatego znak nierówności się nie zmienia)
8x > 4x^2 +4  \Rightarrow x^2 - 2x + 1 < 0  \Rightarrow \delta = 0
Zatem nierówność nie przyjmuje wartości ujemnych - brak rozwiązań. C.n.d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2009, o 17:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
zamiast x1 i x2 będę pisał a, b. niech 1<a<b. \frac{8a}{a^2+1}-\frac{8b}{b^2+1}=\frac{8ab^2+8a-8ba^2-8b}{(a^2+1)(b^2+1)}. skupię się na liczniku: 8ab^2+8a-8ba^2-8b=8ab(b-a)-8(b-a)=8(b-a)(ab-1) ponieważ a<b, pierwszy nawias jest >0. ponieważ a, b>1, drugi również. zatem iloczyn jest >0, czyli f(a)>f(b).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2009, o 17:45 
Użytkownik

Posty: 90
a) ok
b) edit dzieki klaustrofob
c) ok, mozna inaczej: a= \frac{8x}{x^2+1} wtedy dostaniesz przedzial jakis, w ktorym nie znajdzie sie liczba 4. Ew. liczac pochodna i extrema tez mozna latwo dowiesc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2009, o 18:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
At123 - odnośnie b) - dobra rada: jak najszybciej przestań tak myśleć. funkcja jest malejąca, gdy dla dowolnych par argumentów a<b zachodzi f(a)>f(b). dowolnych. x i x+1 z pewnością nie są dowolne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja wymierna - nierówności.  Gambit  4
 Rozwiąż nierówność - funkcja homograficzna  judge00  2
 wyznacz współczynniki a,b i c - funkcja homograficzna  Impreshia  1
 funkcja wymierna - własności  efcia33  5
 Wykaż (z definicji), że funkcja w przedziale  chef  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl