szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 wrz 2009, o 20:09 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: wroclaw
Uzasadnij, ze jesli liczba \frac{1}{m}, gdzie m jest liczba naturalna, ma rozwiniecie dziesietne nieskonczone okresowe, to okres musi byc krotszy od m.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2009, o 20:59 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
pavulon napisał(a):
Uzasadnij, ze jesli liczba \frac{1}{m}, gdzie m jest liczba naturalna, ma rozwiniecie dziesietne nieskonczone okresowe, to okres musi byc krotszy od m.

Przypadek pierwszy:
m nie jest podzielne przez 2 ani przez 5.
Wówczas na mocy małego twierdzenia Fermata:
m| (10^{m-1}-1})
czyli 10^{m-1}-1= m \cdot k, czyli:
\frac{1}{m}=\frac{k}{10^{m-1}-1} = k \cdot  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{(m-1)n}}
to zaś oznacza, że liczba k albo jest okresem tego ułamka, albo też okres jest jeszcze krótszy. Ale oczywiście jest k \leq 10^{m-1}-1, więc k ma co najwyżej m-1 cyfr, więc istotnie okres jest krótszy niż m.

Przypadek drugi
Jeśli m=2^a\cdot 5^b \cdot m' (i m' nie jest już podzielne przez dwa ani pięć), to mamy:

\frac{1}{m} = \frac{1}{2^a}\cdot \frac{1}{5^b} \cdot \frac{1}{m'}
O liczbie \frac{1}{m'} wiemy już, że ma okres krótszy od m', mnożenie przez odwrotności dwójki i piątki nie zmienia nam długości okresu, zatem liczba \frac{1}{m} też ma okres krótszy od m', więc tym bardziej od m.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2016, o 20:11 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Bydgoszcz
Witam,

Odświeżam trochę stary temat. Napotkałem powyższe zadanie w podręczniku do klasy I LO.
Niestety małego twierdzenia Fermata tam nie znalazłem jak i go nie znam. Czy jest jakiś inny sposób na uzasadnienie tego wyrażenia z m?

Przy podziale różnych m, zauważyłem, że reszty z dzielenia dla kolejnych cyfr okresu, mają wartości z zakresu od 1 do m-1. Każda reszta występuje jednokrotnie, po czym okres się kończy co oznacza, że okres jest mniejszy od m.
Np. Dla m = 19, występują wszystkie reszty od 1 do 18 i okres się kończy. Nie wiem jak można opisać to matematycznie.

P.S. To mój pierwszy post, więc z góry przepraszam za mój nick, niestety regulamin przeczytałem po rejestracji. Jeśli nick jest nie do zaakceptowania mogę zmienić.

Pozdrawiam
B
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2016, o 20:44 
Użytkownik

Posty: 13214
Lokalizacja: Bydgoszcz
Przy dzieleniu pisemnym okres zacznie się wtedy, gdy powtórzy sie taka sama reszta. A ponieważ reszt jest co najwyżej m więc...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 2  leszczu450  4
 Pierwiastek 3 stopnia z 5 - liczba niewymierna?  Sebastian R.  2
 Wykaż że liczba jest podzielna przez 6 - zadanie 2  DemoniX  10
 Uzasadnij, że liczba jest podzielna przez 7  trzebiec  6
 Liczba podzielna przez 16  blue-berry  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl