szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 wrz 2009, o 20:13 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: wroclaw
Wskaż liczby naturalne n, dla ktorych \frac{1}{n} i \frac{1}{n+1} maja rozwinięcie dziesietne skonczone
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2009, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Żeby ułamki \frac{1}{n} i \frac{1}{n+1} miały skończone rozwinięcia dziesiętne, liczby n i n+1 w rozkładzie na czynniki pierwsze mogą mieć tylko dwójki i piątki. Ale jeśli obie będą podzielne przez dwa, to przez dwa podzielna będzie liczba (n+1)-n=1, co jest niemożliwe. Podobnie nie może być tak, że obie są podzielne przez pięć. Musi być więc:
\begin{cases}n= 2^a \\ n+1=5^b \end{cases} lub \begin{cases} n=5^b \\ n+1=2^a \end{cases}
Po odjęciu stronami w obu przypadkach, łatwo zauważyć, że musi być:
|5^b-2^a|=1

Pokażemy, że jedynymi całkowitymi rozwiązaniami tego równania są a=1,b=0 i a=2,b=1.

Jeśli a byłoby nieparzyste, to przyjmując a=2k+1 dostajemy równość modulo 5:
2^a = 2^{2k+1} = 4^k \cdot 2 \equiv (-1)^k \cdot 2 \equiv 2  \vee 3 \mod 5
Ale jeśli b>0, to 5^b \equiv 0 \mod 5, a zatem lewa strona przystaje do dwójki lub trójki modulo pięć, więc nie może być równa jeden. Jeśli więc b=0, to a=1, a jeśli b>0, to a musi być parzyste.

Jeśli teraz b byłoby nieparzyste, to przyjmując b=2l+1, dostajemy równość modulo 8:
5^b = 5^{2l+1}= 25^l \cdot 5 \equiv 5 \mod 8
Ale jeśli a>2, to 2^a \equiv 0 \mod 8, a zatem lewa strona przystaje do piątki modulo osiem. Jeśli więc a=0, to nie ma rozwiązań, jeśli a=1, to już mamy rozwiązanie b=0, jeśli a=2, to dostajemy nowe rozwiązanie b=1, a jeśli a>2, to b musi być parzyste.

Ale jeśli a,b są parzyste,to a=2k, b= 2l i mamy:
1= |5^b - 2^a|  =|5^{2l}-2^{2k}| = |5^l - 2^k| \cdot |5^l + 2^k|
co jest oczywistą sprzecznością.

Istotnie więc nie ma innych rozwiązań niż (1,0) i (2,1), łatwo sprawdzić, że dla pierwszego rozwiązania dostajemy n=1, a dla drugiego n=4.

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwinięcia dziesiętne  ToMeQ  1
 dzielniki liczby, rozwinięcie dziesiętne  Sonia152 :*  1
 rozwinięcie dziesiętne - zadanie 7  baklazan9494  7
 rozwinięcie potęgi dwumian Newtona  MaTTematyk  3
 Czy wyrażenie przyjmuje skończone wartości  matemix  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl