Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Przekształcenia algebraiczne

dowód nierówności - zadanie 10

Strona 1 z 1

[ Posty: 8 ]

Autor

Wiadomość

marek12 Offline

Tytuł: dowód nierówności

Napisane: 18 wrz 2009, o 12:39

Posty: 696
Lokalizacja: marki

Niech a,b>0 . Udowodnij że
$\displaystyle\frac {a-b}{lna-lnb} < \frac{1}{3}(2\sqrt{ab} + \frac{a+b}{2})$

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019

Góra

Zordon Offline

Tytuł: dowód nierówności

Napisane: 18 wrz 2009, o 12:54

Posty: 4977
Lokalizacja: Kraków

zazwyczaj takie coś idzie z Tw. Lagrange'a o wartości średniej, jednak tutaj jest za słabe

Można za to zrobić tak: załóż przykładowo, że $a>b$ , podziel obustronnie przez $b$ i przyjmij $x= \frac{a}{b}$ , wtedy oczywiście $x>1$ i pozostaje do wykazania nierówność z jedną zmienną.

Góra

marek12 Offline

Tytuł: dowód nierówności

Napisane: 18 wrz 2009, o 13:50

Posty: 696
Lokalizacja: marki

ok ale teraz jak wykazac równosc te z x:
$\frac{x-1}{lnx} < \frac{1}{3} (2 \sqrt{x} + \frac{x+1}{2} )$
:?:

Góra

Zordon Offline

Tytuł: dowód nierówności

Napisane: 18 wrz 2009, o 14:48

Posty: 4977
Lokalizacja: Kraków

proponuje rachunek różniczkowy, bo nic innego mi nie przychodzi do głowy :<

Góra

marek12 Offline

Tytuł: dowód nierówności

Napisane: 18 wrz 2009, o 15:04

Posty: 696
Lokalizacja: marki

tzn jak?

Góra

miodzio1988

Tytuł: dowód nierówności

Napisane: 18 wrz 2009, o 15:12

Wszystko na jedną stronę i lewą stronę traktujemy jako funkcje. Liczymy pochodną tej funkcji.Ta pochodna piękna nie będzie, ale moze cos da się z niej zrobic.

Góra

Zordon Offline

Tytuł: dowód nierówności

Napisane: 18 wrz 2009, o 15:17

Posty: 4977
Lokalizacja: Kraków

Przerzucasz wszystko na prawo i mamy jakąś funkcję $f(x)$ , chcemy wykazać, że przyjmuje wartości większe od 0, dla $x>1$ . Liczysz pochodną, przypuszczam, że dla x>0 pochodna wyjdzie dodatnia. Potem trzebaby sprawdzić wartość w 1, ale pech chciał, że w 1 funkcja jest nieokreślona, na szczęście $\lim_{ x\to 1^+}f(x)$ istnieje i wynosi 0, co rozwiązuje nasz problem.

Góra

marek12 Offline

Tytuł: dowód nierówności

Napisane: 18 wrz 2009, o 15:58

Posty: 696
Lokalizacja: marki

pochodna mi wyszła taka
$f'(x)= \frac{1}{3} \frac{1}{ \sqrt{x} }+ \frac{1}{2} - \frac{lnx-1+ \frac{1}{x} }{(lnx)^2}$

i co dalej :?:

i co wynika z tego ze $f(1)=0$

czemu nikt nie odpisuje?

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 8 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Przekształcenia algebraiczne

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Dowód nierówności	Sebastian R.	2
Dowód nierówności - zadanie 8	mcmcjj	3
Dowód nierówności - zadanie 13	maniek-07	5
Dowód nierówności - zadanie 17	aska3007	1
Dowód nierówności - zadanie 35	Rehor	1

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]