szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2009, o 13:39 
Użytkownik

Posty: 696
Lokalizacja: marki
Niech a,b>0 . Udowodnij że
\displaystyle\frac {a-b}{lna-lnb} < \frac{1}{3}(2\sqrt{ab} + \frac{a+b}{2})
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2009, o 13:54 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4974
Lokalizacja: Lozanna
zazwyczaj takie coś idzie z Tw. Lagrange'a o wartości średniej, jednak tutaj jest za słabe

Można za to zrobić tak: załóż przykładowo, że a>b, podziel obustronnie przez b i przyjmij x= \frac{a}{b}, wtedy oczywiście x>1 i pozostaje do wykazania nierówność z jedną zmienną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2009, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 696
Lokalizacja: marki
ok ale teraz jak wykazac równosc te z x:
\frac{x-1}{lnx} < \frac{1}{3} (2 \sqrt{x} + \frac{x+1}{2} )
:?:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2009, o 15:48 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4974
Lokalizacja: Lozanna
proponuje rachunek różniczkowy, bo nic innego mi nie przychodzi do głowy :<
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2009, o 16:04 
Użytkownik

Posty: 696
Lokalizacja: marki
tzn jak?
Góra
PostNapisane: 18 wrz 2009, o 16:12 
Użytkownik
Wszystko na jedną stronę i lewą stronę traktujemy jako funkcje. Liczymy pochodną tej funkcji.Ta pochodna piękna nie będzie, ale moze cos da się z niej zrobic.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2009, o 16:17 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4974
Lokalizacja: Lozanna
Przerzucasz wszystko na prawo i mamy jakąś funkcję f(x), chcemy wykazać, że przyjmuje wartości większe od 0, dla x>1. Liczysz pochodną, przypuszczam, że dla x>0 pochodna wyjdzie dodatnia. Potem trzebaby sprawdzić wartość w 1, ale pech chciał, że w 1 funkcja jest nieokreślona, na szczęście \lim_{ x\to 1^+}f(x) istnieje i wynosi 0, co rozwiązuje nasz problem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2009, o 16:58 
Użytkownik

Posty: 696
Lokalizacja: marki
pochodna mi wyszła taka
f'(x)= \frac{1}{3} \frac{1}{ \sqrt{x} }+ \frac{1}{2}  -  \frac{lnx-1+ \frac{1}{x} }{(lnx)^2}

i co dalej :?:

i co wynika z tego ze f(1)=0

czemu nikt nie odpisuje?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód nierówności  Sebastian R.  2
 Dowód nierówności - zadanie 8  mcmcjj  3
 Dowód nierówności - zadanie 13  maniek-07  5
 Dowód nierówności - zadanie 17  aska3007  1
 Dowód nierówności - zadanie 35  Rehor  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl