szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 20:46 
Użytkownik

Posty: 4
Witam
Mam problem z zadaniem mianowicie
Wykaż, że liczba(10^{n} +2)^{2}gdzie n należy do N+, jest podzielna przez 9
Jeżeli wybrałem zły dział proszę Adminów o przeniesienie :/
Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
I sposób
Z użyciem kongruencji:
10 \equiv 1 \mod 9 \\
10^n \equiv 1 \mod 9 \\
10^n +2\equiv 3 \mod 9 \\
(10^n +2)^2\equiv 9 \equiv 0 \mod 9

II sposób
Indukcyjnie.
Dla n=1 twierdzenie jest oczywiste. Załóżmy zatem, że dla pewnego n \geq 1 mamy 9 |(10^n+2)^2 i pokażmy, że 9 |(10^{n+1}+2)^2. Mamy:
(10^{n+1}+2)^2= (10\cdot 10^n +2 )^n = (9 \cdot 10^n + (10^n+2))^2 = \\ = 9 \cdot 9 \cdot 10^{2n} + 2\cdot 9 \cdot (10^n+2) + (10^n+2)^2
Dwa pierwsze składniki są podzielne przez dziewięć w oczywisty sposób, a ostatni składnik jest podzielny przez dziewięć z założenia indukcyjnego. Kończy to dowód.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2009, o 21:23 
Gość Specjalny

Posty: 1996
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
III sposób
Zauważ, że 10^{n} +2 jest podzielne przez 3 (liczba składa się z jedynki, zer i jednej dwójki - suma cyfr to 3, więc jest podzielna przez 3)
Jeżeli liczba jest podzielna przez 3 to jej kwadrat jest podzielny przez 9 i mamy tezę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 Dowód na poprawność zasady podzielności przez 9  magik100  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl