szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2009, o 10:10 
Użytkownik

Posty: 158
Lokalizacja: Wieruszów
Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość:
1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}

Nie wiem, jak się do tego zabrać...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2009, o 10:35 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Dla n=1 równość jest oczywista.
Załóżmy, że dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej k zachodzi równość
1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}=(1+2+3+...+k)^{2}.
Wykażemy, że wówczas także
1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}.
Mamy w myśl założenia indukcyjnego (1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3})+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^3, więc
1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^3=(1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3})+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^{2}+k(k+1)^2+(k+1)^2=(1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)+(k+1)^2=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}.

Indukcja kończy dowód.

Po drodze wykorzystaliśmy równość 1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Najmniejsza wspólna wielokrotność-dowód.  hUmanitO  8
 Przeprowadź dowód indukcyjny nierówności  Anonymous  15
 Dowód indykcyjny permutacji bez powtózeń  noiprox  3
 Dowod indukcyhjny nierownosci.  pavlo4  2
 Dowód wzoru  Tys  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl