szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 paź 2009, o 16:50 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Kraków
Korzystając z indukcji matematycznej udowodnij, że jeśli:
x_{k} \in [0,\pi] dla k = 1, 2, ..., n, to
|sin(x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})| \leqslant sinx_{1} + sinx_{2} + ... + sinx_{n}
dla n \in N
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 00:46 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Dla n=1 nierówność |\sin x_1 |\leq \sin x_1 jest oczywiście prawdziwa (bo sinus jest dodatni w naszym przedziale).

Załóżmy więc, że dla pewnego n \geq 1 jest:
|\sin    (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})| \leqslant \sin x_{1} + \sin x_{2} + ... + \sin x_{n}
i pokażmy, że wtedy:
|\sin (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}+x_{n+1})| \leqslant \sin x_{1} + \sin x_{2} + ... + \sin x_{n} + \sin x_{n+1}

Mamy:
|\sin ((x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})+x_{n+1})|= \\ =
|\sin (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}) \cdot \cos x_{n+1} + \sin x_{n+1} \cdot \cos (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})|  \leq \\ \leq
|\sin (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}) |\cdot |\cos x_{n+1}| + |\sin x_{n+1}| \cdot |\cos (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})| \leq \\ \leq
|\sin (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}) | + |\sin x_{n+1}| \leq 
\sin x_{1} + \sin x_{2} + ... + \sin x_{n} + \sin x_{n+1}

(ostatnia nierówność z założenia indukcyjnego i faktu |\sin x_{n+1}|=\sin x_{n+1})

Kończy to dowód.

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Uogólniona nierówność Bernoulliego  Anonymous  10
 indukcja matematyczna-nierówność  Qasi  5
 Nierówność-indukcja-jak?  Kaszim  6
 nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną, a geometry  ville-dor  2
 indukcja-wykazac nierownosc  panterman  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl