szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Wrocław
Witam.
Mam problem, ponieważ nigdy nie robiłem nierówności indukcyjnych i nie za bardzo wiem jak się zabrać za te przykłady:

1. Uzasadnij nierówność:

a) \ 2^n > n^2 \ dla \ n\geqslant5

b) \  \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2} \leqslant 2 -  \frac{1}{n} \ dla \ n\in\mathbb{N}

c) \ n! < \left(\frac{n}{2}\right)^n \ dla \ n\geqslant6.

Prosiłbym o dokładne wyjaśnienie, z góry dziękuję
Marcin
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 14:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4974
Lokalizacja: Lozanna
wiesz co mówi zasada indukcji?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2009, o 22:57 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Wrocław
Wiem, ale nie wiem co się poźniej dzieje.

1. Sprawdzam nierownosc dla n = np.1 (analogicznie , dla wiekszych rownych 5 => 5)
2. Zalozenie dla k=1
3. Za k podstawiam k+1, podstawiam wyrazenie z zalozenia i licze, po czym wychodzi np.
2k+2 > 2k

Tylko ze wlasnie z tym trzecim krokiem mam problemy, poniewaz nie wiem do konca co z czego wynika.
Dla pokazania problemu pierwszy przykład:

1. \ n=5

 .\quad 2^5 > 5^2 \ \Rightarrow \ 32 > 25

2. \ k\geqslant5

.\quad2^k > k^2

3. \ k + 1

.\quad2^{k+1} > (k+1)^2 \  \Rightarrow \ 2^k * 2 > (k+1)^2

I teraz tutaj ?należy? pomnożyć założenie *2

2^k * 2 > 2 * k^2

No i właśnie, co dalej? Zostaje mi że mam dwie nierówności:

2^k * 2 > 2 * k^2
2^k * 2 > (k+1)^2

Co gdzie podstawić do wyliczeń? Co teraz ma być większe od czego?
Z góry dzięki za pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2009, o 06:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 684
Lokalizacja: Wrocław
Mógłby ktoś pokazać rozwiązanie do tego przykładu:
c) n!<\left(\frac{n}{2}\right)^n \ dla \ n\ge 6
Po ustaleniu wszystkiego dochodzę do dowodzenia i mam:
(n+1)!=n!\cdot(n+1)<\left(\frac{n}{2}\right)^n\cdot(n+1)=...
Dalej próbowałem, ale za każdym razem bez powodzenia.


PS: marcinxn, masz pokazać, że 2^{k+1}>(k+1)^2,
więc tak: 2^{k+1}=2^k\cdot2>k^2\cdot2=k^2+k^2>k^2+2k+1=(k+1)^2
Jeszcze trzeba pokazać, że k^2>2k+1 dla każdego k \ge 5, czyli rozwiązujesz zwykłą nierówność kwadratową.

-- 17 października 2009, 20:01 --

Zrobiłem ten trzeci przykład i zastanawiam się, czy jest poprawnie.

\bigwedge\limits_{n\ge6 \  \wedge \ n\in\mathbb{N}}n!<\left(\frac{n}{2}\right)^n

1^{\circ} \ Dla \ n=6
6!=720<729=\left(\frac{6}{2}\right)^6 PRAWDA

2^{\circ} \ Dla \ n\in\mathbb{N}
Zał. ind.: n!<\left(\frac{n}{2}\right)^n
Teza ind.: (n+1)!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}
Dowód ind.:
(n+1)!=n!\cdot(n+1)<\left(\frac{n}{2}\right)^n\cdot(n+1)=
\frac{n^{n+1}}{2^n}+\frac{n^n}{2^n}=\\=
\frac{n^{n+1}+n^n}{2^n}=
\frac{2}{2}\cdot\frac{3n^n}{2^n}=
\frac{6n^n}{2^{n+1}}\le\frac{n\cdot n^n}{2^{n+1}}=
\left(\frac{n}{2}\right)^{n+1}<\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}
c.n.d.


Dobrze???
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcyjny dowód nierówności.  _Mithrandir  4
 Udowodnij nierówności - zadanie 6  Badzia  1
 Równanie indukcyjne  Farokles  1
 Indukcja matematyczna z zastosowaniem nierówności B.  banja  2
 Dwa dowody indukcyjne - zadanie 2  iie  13
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl